一、学习方法
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。
这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间
(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开
始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如
果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一
个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。
这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，
毫无疑问就是我们生活在其中（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。
仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：
1.
由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2.
这些点之间存在相对的关系；
3.
可以在空间中定义长度、角度；
4.
这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），
而不是微积分意义上的“连续”性的运动，
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。
事实上，
不管是什么空间，
都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动
（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中
有拓扑变换，线性空间中有线性变换，
仿射空间中有仿射变换，
其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。
这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间
(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开
始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如
果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一
个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。
这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，
毫无疑问就是我们生活在其中（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。
仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：
1.
由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2.
这些点之间存在相对的关系；
3.
可以在空间中定义长度、角度；
4.
这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），
而不是微积分意义上的“连续”性的运动，
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。
事实上，
不管是什么空间，
都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动
（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中
有拓扑变换，线性空间中有线性变换，
仿射空间中有仿射变换，
其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动
