必修1 / 第一章 集合与函数概念 / 1.3 函数的基本性质 / 1.3 函数的基本性质 教学设计 教案 / 函数的奇偶性.doc
函数的奇偶性 一．知识点 1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。 如果函数()fx是奇函数或偶函数，则称函数y=()fx具有奇偶性。 2.性质： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， ②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， ④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， ⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
)]()([2 1 )]()([21)(xfxfxfxfxf ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] ⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 ⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0 3．奇偶性的判断 1.定义①看定义域是否关于原点对称， ②看f(x)与f(-x)的关系。 2.看图形的对称性。 二．应用举例 关于从定义出发 例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、
①x x xxf11) 1()( 非奇非偶函数
②2 2)1lg()(2 2 xxxf 偶函数 ③) 0() 0()(2 2xxxxxxxf 奇函数
④33)(22 xxxf 既是奇函数又是偶函数
⑤2)(2 axxxf a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数 变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。 解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令x1=x x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质 例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2 +2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。 ②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。 答案：①可确定， )0(12)0(0)0(12)(22xxxxxxxxf ②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x2 -2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。 变式一：书例1 变式二
：已知函数1 22 2)(x xaaxf是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。 分析：用f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1
，1 22 2)(xxxf再验证 综合提高与应用。 P17书例3 练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在),0[
上为减函数，若)12()2(2afaaf，求实数a的取值范围。 简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在),0[上为减函数，∴
由)12()2(2afaaf有
： )12(22afaa 2 2 2 ) 12(20 2aaaaa解得a≤-1或a≥2. 三．小结 １．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性 ４．若函数f(x)
的定义域关于原点对称，则)]()([2 1 )]()([21)(xfxfxfxfxf ５．函数奇偶性的判断与应用。 四．作业 优化设计 备例1．已知g(x)
是奇函数，8 1 5)3(2)()1(log)(2 2fxgxxxfx 且，求f(3) 简解：
x xxgxxxfxgxxxf2)()1(log)(2)()1(log)(2222相加得：)(22)(xfxfx x
3)3(22)3(33ff 备例2．f(x)是定义在),10[]10,(上的奇函数，且f(x)在),10[上的的单调递减 ①判断f(x)在]10,(上的单调性，并用定义证明， ②若a>0且a≠1，有0)106(])1([22xxxxaafaaf，求x的取值范围。 解答见书 备例3：书P17例4
函数的奇偶性 一．知识点 1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。 如果函数()fx是奇函数或偶函数，则称函数y=()fx具有奇偶性。 2.性质： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， ②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， ④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， ⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
)]()([2 1 )]()([21)(xfxfxfxfxf ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] ⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 ⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0 3．奇偶性的判断 1.定义①看定义域是否关于原点对称， ②看f(x)与f(-x)的关系。 2.看图形的对称性。 二．应用举例 关于从定义出发 例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、
①x x xxf11) 1()( 非奇非偶函数
②2 2)1lg()(2 2 xxxf 偶函数 ③) 0() 0()(2 2xxxxxxxf 奇函数
④33)(22 xxxf 既是奇函数又是偶函数
⑤2)(2 axxxf a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=1 ②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数 变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。 解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令x1=x x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质 例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2 +2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。 ②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。 答案：①可确定， )0(12)0(0)0(12)(22xxxxxxxxf ②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x2 -2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。 变式一：书例1 变式二
：已知函数1 22 2)(x xaaxf是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。 分析：用f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1
，1 22 2)(xxxf再验证 综合提高与应用。 P17书例3 练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在),0[
上为减函数，若)12()2(2afaaf，求实数a的取值范围。 简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在),0[上为减函数，∴
由)12()2(2afaaf有
： )12(22afaa 2 2 2 ) 12(20 2aaaaa解得a≤-1或a≥2. 三．小结 １．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性 ４．若函数f(x)
的定义域关于原点对称，则)]()([2 1 )]()([21)(xfxfxfxfxf ５．函数奇偶性的判断与应用。 四．作业 优化设计 备例1．已知g(x)
是奇函数，8 1 5)3(2)()1(log)(2 2fxgxxxfx 且，求f(3) 简解：
x xxgxxxfxgxxxf2)()1(log)(2)()1(log)(2222相加得：)(22)(xfxfx x
3)3(22)3(33ff 备例2．f(x)是定义在),10[]10,(上的奇函数，且f(x)在),10[上的的单调递减 ①判断f(x)在]10,(上的单调性，并用定义证明， ②若a>0且a≠1，有0)106(])1([22xxxxaafaaf，求x的取值范围。 解答见书 备例3：书P17例4
