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微分方程常见问题

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总结一些常见问题。


  • baqktdgt
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二楼


2025-08-01 14:34:08
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一阶非齐次线性微分方程。
通解公式:


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C1和lnC2的区别。
lnC2是一种简写,原理实际上是红色的常数C换元。两者是完全一致的,只是C1多了一步换元操作。个人不建议用lnC的写法。
蓝色是对应的齐次方程,用分离变量的方法进行求解。
然后将常数C2进行常数变易,用常数变易法进行求解。
注意到g(x)后面的cosx是没有绝对值符号的。
因为绝对值符号在第一处红色的正负号的时候就已经去掉了,然后在第二处红色转为C2,然后正负号在C2中当成常数变易了。
这也就是为什么通解公式中,红色的cosx的绝对值可以直接去掉的根本原因。
碰到这种带绝对值的题目,个人建议使用第一图的凑导数法进行求解,简单方便还不用考虑绝对值。



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希望能学到一些关于一阶非线性非齐次方程的做法


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摸眼


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建议楼楼发一些,二阶线性非齐次常数微分方程的k,m如何选择,以及需要注意的地方


2025-08-01 14:28:08
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  • baqktdgt
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二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
.
根据累加原理,将不同的λ和ω拆成多个方程。方程等式右边的形式如下所示。
.
p和q是常数。
λ是常数,ω是常数。
n和l是非负整数,m取n或l里面大的那个数。
k取0或1。不是特征根k取0,单根k取1,二重根k取2,以此类推。二阶常系数里面,虚根最多是单根,不会是多重根。
a,b,A,B都是常数。
.
这里讲的虚根的特解,实际上这个设法对于实根一样适用。
令ω=0就是实根,则b和B都不用设,m=l,再将k推广到取0到2的值,实根的设法也就出来了。




  • baqktdgt
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二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。
齐次推广到非齐次,二阶推广到高阶或一阶。









  • baqktdgt
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一、可分离变量的微分方程。
二、齐次微分方程。
三、一阶线性微分方程。伯努利方程。
四、全微分方程。
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最后一个式子,x进出根号前,需要讨论x大于0还是x小于0,此处不严谨。
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y = ux, dy = d(ux) = udx + xdu
dy/dx = u + x * du/dx
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需要分情况讨论。
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需要用到二阶行列式,二阶行列式很简单的,自行百度。
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一阶线性微分方程。
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