巴塞尔问题是一个有名的数论问题，文字表述为:求所有平方数(比如说1，4，9…)的倒数之和

正好刚刚讲了sinx函数的展开式，刚好就可以拿来解决这个问题

历史上，欧拉首先解决了这个问题，使他一举成名
他的解法虽然不是特别严谨(但后来他也给出了严格的解法)，但是非常巧妙，就像是先知道了答案再得出过程……
下面就来讲一下欧拉的解法

首先，根据sinx的级数展开式，可以得到(sinx)/x的级数展开式

接下来就是重点…

一个多项式方程，比如说x²-4=0它的解是2和-2
多项式(x²-4)因式分解得到(x+2)(x-2)
可以看出，因式分解一个多项式的关键就是找到这个多项式为0的方程的解

所以要分解(sinx)/x这个无穷级数，也应该找到它的解，方程的解就是函数的零点
(零点是一个确定的值，就是因变量是0时，自变量的值)

如图，是函数f(x)=(sinx)/x的函数图像
可以看出，函数的零点集合为kπ，k是整数(正整数和负整数)

既然找到了零点，也就是找到了方程的根，就可以进行分解了

把原先(sinx)/x的级数变为这种形式
图源:百度百科

为什么要变为这种形式呢？
就和上面说的多项式方程的因式分解一样，分解出来，每个括号里的结果必须等于0
现在方程的根是x=kπ，为了保证括号里的结果是0，分母就必须取kπ，这样(1-kπ/kπ)=0

把两个括号合并，也就是根据平方差公式变形，得到11楼的图的第二行的形式

如图，是，现在得出的(sinx)/x的乘积式和原来无穷级数的比较
原无穷级数中x²的系数是1/3!，也就是1/6，而成绩式的x²的系数是
-1/π²-1/4π²-1/9π²-……

而这两个系数是相等的