4684 等角共轭专题

各位吧友好，我又回来了。
之前一年，作为游离在外的旁观者，我看到纯几何吧内的气氛，比起我在吧内的情况相比，又差了一些。这一年多一点的时间内，鲜有专题的产出。仅有的专题，3100写了一节便再无更新；3235的参考意义不如更老的帖子；3602仅作为结论总结，与现今环境脱节；3684的结构和内容安排都有重大问题；3780的外部链接已经遗失；4444更新缓慢。仅有3001与3240作为唯二质量上乘，内容足量，知识友好的专题出现；仅有3500作为唯一唯一质量上乘，内容足量，能力提升型的专题出现。即使将3737与4400两个更偏向单纯的题集的帖子称为专题，现如今的专题，无论是数量还是质量，都不比2000-3000的时期。
为了尽可能同时照顾水平一般的吧友的阅读体验，与水平较高的吧友的写作需要，我试图将本专题，不仅作为知识与结论的介绍，也作为较高难度的几何专题的写作模板，尤其是关于一些结论比较散碎的几何内容的写作。
本专题与费尔巴哈专题（3000）一样，不为萌新教育专题。但水平一般的吧友应该同样能较为顺畅地阅读本专题的前三节。对于水平更高，或想提升自己的吧友，请尽管向后阅读。同时，本专题因为时间与作者个人水平有限，最终呈现出的内容与远设想有所差距，欢迎各位进行补充与续写。
本专题的内容，前三部分来源于吧内各类问题（包括等角共轭专题1576），第四部分主要来源于ETC，第五部分主要来源于等角共轭专题1576与高次曲线专题1927，第六部分主要来源于等角共轭专题2371。
本次专题发表后，我仍会回归大学学习。我仍然希望，各位吧友能在纯几何吧获得自己需要的知识，收获学业的进步。我仍然希望，还会有新的专题陆陆续续地产出，辅助吧友们更好地进行学习。我仍然希望，如果我有一天回来看看，能看到纯几何吧绿树常青。
2020年9月14日

本专题不是萌新教育专题，而是能力提升专题。本专题的主要目标是收集与罗列一些关于等角共轭点的结论。本专题由以下六个部分组成：
第一部分是基础部分，主要涉及一些关于等角共轭点的基础几何知识，主要使用相似与共圆，不涉及圆锥曲线或更高级别的知识。
第一节是基础节，主要介绍了等角共轭点的存在性与垂足圆的存在性。
第二节是等角共轭点与外接圆的关系，主要介绍了等角共轭点与外接圆相关的一些相似三角形结构。
第三节是等角共轭点与其辅助圆的关系，较为全面地研究了等角共轭点的辅助圆的性质。
第二部分是等角像部分，对曲线的等角像进行了较为严格的定义，并着重研究了性质特殊的等角像——等轴双曲线。
第四节是严格化节，使用极限工具对一些特殊位置的点的等角共轭点做了规定。
第五节是定义节，主要介绍了等角像的定义。若对等角像的严格化定义需求不大，则可跳过第四节与第五节。
第六节介绍了等轴双曲线，并研究了其一些基本性质。
第七节主要介绍了彭赛列点，研究了其一些基本的共圆性质。
第三部分是内切圆锥曲线部分，主要研究了由一对等角共轭点生成的内切圆锥曲线，及多个内切圆锥曲线之间的关系。
第八节是引入节，证明了该内切圆锥曲线的存在性，并简要研究了其性质。
第九节介绍了一对等角共轭点与圆上的一点之间的关系，引入了由顺相似导出的轴反射反演。
第十节介绍了两对等角共轭点之间的关系，并证明了两对等角共轭点的顺相似中心在外接圆上这一重要性质。
本部分的性质研究受到很大限制。事实上，四边形等角共轭更适合处理第三部分的问题。关于四边形等角共轭的相关内容，请参见第五部分。
第四部分是实用工具部分，主要研究了三线性配极、赛瓦点、交错点三种与等角共轭关系密切的几何工具。
第十一节介绍了三线性配极，研究了三线性配极的一些基本性质，与其在等角共轭下的变化。
第十二节介绍了两点关于三角形的赛瓦点，研究了其一些射影性质。
第十三节介绍了两点关于三角形的交错点，研究了其一些射影性质，并证明了赛瓦点与交错点互为等角共轭变换。
第五部分是四边形等角共轭部分，主要介绍了四边形等角共轭的定义、垂足圆、内切圆锥曲线，定义了四边形等角共轭点的轨迹，并研究了一些简单性质，与一个重要特例。
第十四节为定义与引入节，定义了四边形的等角共轭点，并研究了一些简单性质。整体内容与本专题第一部分相似。
第十五节为内切圆锥曲线，证明了四边形等角共轭点生成的内切圆锥曲线的存在性，并证明了牛顿定理。整体内容与本专题第三部分相似。
第十六节为巨龙曲线。本节定义四边形等角共轭轨迹为巨龙曲线，并简要研究了巨龙曲线的一些性质。
第十七节为斜环索线。斜环索线是巨龙曲线在四边形有内切圆时的特殊情形，本节研究了斜环索线的一些简单性质与其反演性质。
在阅读本部分与下一部分时，需要注意四边形与四点形之间的区别。
第六部分是四点形等角共轭部分，主要介绍了四点形中一些涉及等角共轭相关性质的特殊点，以及关于四点形密克三角形的等角共轭。
第十八节介绍了四点形的格尔刚-斯坦纳点。该点是第七节中所研究的彭赛列点关于四点形重心的对称点，本节研究了其一些简单性质。
第十九节介绍了四点形的等角中心。该点是格尔刚-斯坦纳点关于密克三角形的等角共轭点。本节研究了其一些简单性质。
第二十节是密克三角形节，主要研究了四点形中一些特殊点关于密克三角形的等角共轭点，并简要研究了这些等角共轭点连线之间的平行关系。
在阅读本部分与上一部分时，需要注意四边形与四点形之间的区别。