前言：由于我们学院安排给我们班拓扑学英文授课。然后上课绝大多数人都是不知所云。终于几次之后，终于有人忍不住了，去反映了下，课被改成中文讲课，讲英文课本，专业术语和课本原话照英文讲。然后可以去其他班蹭中文的课（用第二本书）。我太懒了，没去。班上的课也早听不懂了。然后最近终于下定决心准备学拓扑。
再说说，我打算中文英文混合写吧。因为用的是Munkre的书，这本书算是风靡全球的拓扑课本，这书讲的不是很抽象。中文课本有点劝退，我抓不住东西，只能被动的接受知识。中文多用于自己的一些思考，英文多来自书中原句之类的，英文我也不会太难的。

准备知识那一节不打算讲。直接进正题，有需要用到准备知识的，会提一下。另外开这个帖子也算是为了对费曼学习法的实践，自己巩固自己的知识。

今天就只开一个头
CH.2 Session 12 Topology Spaces
首先来给出拓扑的定义，要说明拓扑的定义有很多种，刚开始先接受就好了。
Definition. A topology on set X is a collection T of subsets of X having the following properties:
(1) Empty set and X are in T.
(2)The union of the elements of any subcollection of T is in T.
(3)The intersection of the elements of any finite subcollection of T is in T.
意思就是，满足以下三条的集合列T就称作X上的拓扑，其中集合列T中的元素为X的子集集合，不一定是全体子集。
（1）空集和全集X要在T中
（2）T中任意个元素的并必须还在T中
（3）T中有限个元素的交必须还在T中
针对有限，无限，可数（又叫可列），不可数，任意说明下。
实变函数中，有限集，就是集合中的元素有限个。这种情况我们也称集合可数。
无限中的可数和不可数。
我们按照某种规则把集合中的元素依次写出的或者有限的集合叫做可数集合。
比如说无穷级数项的集合，虽然它有无限项，但每一项都能写出来。
另外一说有理数集也是可数的，这里具体这么一一列出来就不说，再跑就到实变函数了。
不可数的集合了解下就好，比如任意开区间都不可数。无法把该区间的元素按某种规则列出来。
上面（2）中的任意就是指，可以是可数/不可数。

拓扑的另一种定义：“开集”
相当于是说，T中元素满足三条，那么T中的元素，我们就叫做“开集”。
（1）空集和全集X是开集
（2）T中元素的任意并是开集
（3）T中元素的有限交是开集
这个开集不仅限于我们线段上的开集了，所以我打了引号。
以前的开集也是满足2，3条的，在实变函数中是定理，1可以说是拓扑搞出来的。
拓扑空间：如果一个集合X上已经指定了拓扑T，X就叫拓扑空间。记为(X,T)
关于“开集”书中原话
If X is a topological space with topology T, we say that a subset U of X is an open set of X if U belong to collection T. Using the terminology, one can say that a topological space is a set X together with a collection of subsets of X, called open sets, such that empty set and all set X are both open, and such that arbitrary unions and finite interactions of open sets are open.

完了，感觉是个大坑
我自我感觉理解的差不多，讲出来感觉很复杂

举个例子。X={a,b,c}
那么X上的一个拓扑T可以是{{a},{b,c}{a,b,c},{空集}}
(1)显然成立
(2)任取两个元素做并，要么是自身，要么是X对吧？任取三个或者以上，就是X。在T中吧。
(3)同理可可判断，满足
所以T是拓扑。
显然X上拓扑不唯一。还能找出很多。
后记：手机码字不易啊

例子：有限补拓扑 finite complement
T={U | X-U is finite or all of X}
我们要证明这是一个拓扑。
why we call it finite complement?
because X-U is equal to U's complement set.
(1)把空集和全集X带入U，显示满足T的条件，所以在T中
(2)考虑任意的并Uu[alpha]，其中u[alpha]不为全集，否则显然。记结果为U，那么把U带入，由德摩根公式
X-U=(Uu[alpha])^C=n(u[alpha]^C)
任意多个有限集的交还是有限集。满足T的条件，故在T中。
(3)同理，一般情况用德摩根公式。特殊情况显然。

可以按照上面的证明，时时证明T={U I X-U is countable or all of X}是拓扑。这是一个课后习题。

我当时看觉得挺绕的。
一句话说清楚就是
Elements belong to T if and only these elements satisfies properties.
If T satisfies properties, then T is a topology.

CH.2 Session 13 Basis for a Topology
Definition. If X is a set, a basis for a topology on X is a collection IB of subsets of X (called basis elements) such that
(1) For each X belong to X, there is at least one basis elements B containing x.
(2)If X belongs to the intersection of two basis elements B[1] and B[2], then there is a basis element B[3] containing x such that B[3] belong to the intersection of B[1] and B[2].
这里用IB标记B[n]序列集。
注意，这里的 a basis for a topology， 一个拓扑的一组基，从数学的严谨性上可以看出，具有任意性，即便确定一个拓扑，基也不唯一。
另外这个基的定义中可以看出，基和X有关（子集列），但可以不用具体给定拓扑。

中文课本好难啊，头一次觉得理解中文比英文难。