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不过刚查了一下，就应用而言更有价值的是上面那个逼近条件的一组充分条件：
1.奇点只有有限个
2.P与Q的导数在区域内部绝对可积
3.P与Q在整个区域及其边界上连续（或者连续地延拓到边界上）
条件1其实包括边界本身的拐角，P与Q导数的奇点等等，在不违反下面两个条件的情况下还可以在积分区域D的内部存在奇点。
条件2则是谈论区域D内部的二重积分的必要条件，不满足这个条件那么在奇点处可能会出现不同的逼近方法让积分收敛到不同的值，因此二重积分其实并不存在。你可能见过一些累次积分不能交换次序的情况，比如(x-y)/(x+y)^3在正方形[0,1]×[0,1]上的积分，这就是该条件的反例；而只要满足这个条件自然满足挖掉奇点后的二重积分趋近于没挖掉奇点的二重积分。
条件3则是用来保证曲线积分的趋近的，可以想象只要在导数的奇点附近P与Q本身变化不大，那么不同路径上的曲线积分变化也不大，可以证明配合条件1就能够保证趋近的成立。
比如例1，尽管(0,0)是二者偏导的奇点，但P显然是连续的；极坐标下Q带ln的那项是rsinθ ln(r(1+cosθ))=sinθ r lnr + r sinθ ln(1+cosθ)，只要θ不趋近于-π（即区域始终与x轴负半轴保持一个角度）也能保证其连续地延拓到原点，于是条件3是成立的；条件2和条件1显然成立，于是Green公式在整个区域上成立。
例2违反的则是条件3，P和Q都不能连续地延拓到原点，尽管区域内部的二重积分恒为0，但在原点附近曲线积分的逼近失败了。当然如果想要个仅仅在边界上不连续、曲线积分和二重积分都成立但不相等的例子，这我还得找找...
1.奇点只有有限个
2.P与Q的导数在区域内部绝对可积
3.P与Q在整个区域及其边界上连续（或者连续地延拓到边界上）
条件1其实包括边界本身的拐角，P与Q导数的奇点等等，在不违反下面两个条件的情况下还可以在积分区域D的内部存在奇点。
条件2则是谈论区域D内部的二重积分的必要条件，不满足这个条件那么在奇点处可能会出现不同的逼近方法让积分收敛到不同的值，因此二重积分其实并不存在。你可能见过一些累次积分不能交换次序的情况，比如(x-y)/(x+y)^3在正方形[0,1]×[0,1]上的积分，这就是该条件的反例；而只要满足这个条件自然满足挖掉奇点后的二重积分趋近于没挖掉奇点的二重积分。
条件3则是用来保证曲线积分的趋近的，可以想象只要在导数的奇点附近P与Q本身变化不大，那么不同路径上的曲线积分变化也不大，可以证明配合条件1就能够保证趋近的成立。
比如例1，尽管(0,0)是二者偏导的奇点，但P显然是连续的；极坐标下Q带ln的那项是rsinθ ln(r(1+cosθ))=sinθ r lnr + r sinθ ln(1+cosθ)，只要θ不趋近于-π（即区域始终与x轴负半轴保持一个角度）也能保证其连续地延拓到原点，于是条件3是成立的；条件2和条件1显然成立，于是Green公式在整个区域上成立。
例2违反的则是条件3，P和Q都不能连续地延拓到原点，尽管区域内部的二重积分恒为0，但在原点附近曲线积分的逼近失败了。当然如果想要个仅仅在边界上不连续、曲线积分和二重积分都成立但不相等的例子，这我还得找找...
。注：图1-3是vx一个做高数栏目公众号的人，图4是某高校退休教师。
