8931 K005

我们证明如下推广：ABC与点P，Q为P的等角共轭点，N为ABC九点圆圆心，N_A,N_B,N_C为△PBC,PCA,PAB的九点圆圆心，V为△N_AN_BN_C的九点圆圆心，T为N关于N_AN_BN_C的等角共轭点，U为N关于V的对称点，则P,Q,U,T共线
证明概要：
1. 证明T为PQ中点（取P的Poncelet点X后导角）
2. 设O_N为N_AN_BN_C的外心，证明O_N,T,X共线（事实上，X,T关于N_AN_BN_C外接圆互为反演点，导角可证）
3. 证明Q的垂足三角形与N_AN_BN_C逆相似，进而证明UO_N∥PX（逆相似导角）
4. 设Q的垂足三角形的垂心为H_Q,九点圆圆心N_Q，Q关于它的垂足三角形的等角共轭点为Q*，取YH_QQ顺相似于YQ*T，则Y在Q的垂足圆上，设Q关于N_Q的对称点为Q*，则△Q*Q'T逆相似于△TQY，由3，可得YQT与XPT轴对称，故△O_NTU相似于△XTP，得P,Q,U,T共线
详细过程以后再补

2L的详细过程：


事实上，昨晚发现用类透视锥线可以在完成断言1,2的证明后更快证明推广，但还是按照原始思路这样写了

这么证呗
1、取P的彭赛列点，倒角知：N∪NANBNC∽Q∪XAXBXC(XAXBXC是Q的垂足三角形)
2、由Liang-Zelish定理，N与T的连线经过NANBNC的九点圆圆心
3、取PQ中点M，证明：M=V(废了挺大事，定睛一看，楼上呈现)
证毕。