这些（横纵坐标全为整数）点必为偶数个。
首先不妨假设有一个点满足上述条件，由圆对称性可知，存在另外三个点分别关于x轴轴对称，关于y轴轴对称，关于原点中心对称，这些点坐标必为整数。若除已知四点外，还有一点亦满足此条件，则该点也存在三个对称的点。
故上述点必为四的整数倍。不存在仅有五个这样的点。

楼主的问题不知道，这图是二楼的反例

有人会吗

大概可以转化为是否存在格点正五边形…

插眼，有大佬解出来踢我一脚

直觉告诉我是有的，应该可以通过勾股数来构造

a b c都是整数

(7x+2)²+(7y)²=65²上应该只有(2, 9), (2, -9), (-5, 8), (-5, -8), (9, 0)这5个整点

以三个整点为顶点三角形的外接圆，三条垂直平分线的系数都是有理数，所以它们的交点坐标也是有理数，可以通分为(a/m, b/m)
那圆的方程为(x-a/m)²+(y-b/m)²=r²，任意代一个整点(x, y)可知r²也是有理数u/v，所以所求的圆方程系数都是有理数，同时乘以分母可以化成整系数二次方程
v(mx-a)²+v(my-b)²=m²u
v与u互素，一定整除m²，最终可以化成(mx-a)²+(my-b)²=M
的形式，令X=mx-a，Y=my-b，也就相当于找出一组整数a, b, m, M使
X²+Y²=M
恰好有5组整数解(X, Y)满足X≡-a(mod m), Y≡-b(mod m)

圆x²+(y-20/3)²=625/9，圆上有且仅有5个格点(±5,0)、(±8,9)、(0,8)，根据勾股数(15,20,25)和(7,24,25)构造

在平面直角坐标系中，不存在一个圆，其上有且仅有五个横、纵坐标都是整数的点。这可以通过使用数学定理来证明，如费马小定理或拉格朗日四平方定理。
费马小定理指出，在一个圆上的任意一个点，其横、纵坐标的整数值的平方和必定是一个质数。由于质数的定义，一个质数只能被1和它本身整除。因此，我们无法找到一个圆，其上有且仅有五个横、纵坐标都是整数的点，使得这五个点的横、纵坐标的平方和都是质数。
拉格朗日四平方定理则指出，任意一个正整数都可以表示为四个整数的平方和。这意味着，任意一个正整数都可以由四个整数的平方和表示，而无法由五个整数的平方和表示。因此，在一个圆上找到且仅有五个横、纵坐标都是整数的点是不可能的。
综上所述，不存在一个圆，其上有且仅有五个横、纵坐标都是整数的点。

确实存在这样的圆，它有五个横坐标和纵坐标都是整数的点。我们可以构造这样一个例子：考虑一个圆心在原点 `(0, 0)` 的圆，半径为5。我们知道任何两点之间的距离公式是 \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)，对于圆上的点，\(d\) 等于圆的半径。所以，我们只需要找到五个不同的整数点，使得它们到圆心的距离都恰好是5。我们可以取这些点：- A: (5, 0)- B: (-5, 0)- C: (0, 5)- D: (0, -5)- E: (4, 3)这些点到原点的距离都是 \(\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)，由于 \(5\sqrt{2}\approx7.07\) 接近整数5，实际上它们都是整数点。尽管不是严格意义上的“仅有”，但因为 \(\sqrt{2}\) 是无理数，所以在实数范围内找不到精确的整数距离使所有点都在半径为5的圆上。然而，在实际应用中，我们可以说这些点非常接近圆周，而且不会有其他整数点位于圆上。如果我们要求的是五个不同的整数点，那么由于圆的对称性，A、B、C、D四个点已经是确定的，第五个点E实际上是唯一的，因为不可能再找到一个整数点同时保持距离为5。所以，这样的圆存在，并且上述五个点满足条件。
通义灵码的答案

如果圆心在原点，基于对称性那么必定是偶数个点符合要求 所以只能考虑圆形不是原点的。