gpt的回答
是的，\(AB\)的行列式等于\(BA\)的行列式。具体来说，如果\(A\)是一个\(m \times n\)矩阵，\(B\)是一个\(n \times m\)矩阵，那么以下等式成立：
\[lbk] \det(AB) = \det(BA) \[rbk]
这个等式成立的原因是，尽管\(AB\)和\(BA\)的尺寸不同（\(AB\)是一个\(m \times m\)矩阵，而\(BA\)是一个\(n \times n\)矩阵），它们的非零特征值是相同的，并且它们的零特征值的数量也相同。因此，它们的行列式相等。
具体证明可以通过特征值的性质来说明。假设\(\lambda\)是\(AB\)的一个非零特征值，那么\(\lambda\)也是\(BA\)的一个非零特征值，且两者的重数相同，因此\(\det(AB)\)和\(\det(BA)\)的乘积等于各自非零特征值的乘积，这样就有：
\[lbk] \det(AB) = \det(BA) \[rbk]
这个性质在矩阵理论中是一个重要的结果。