求助求助求助

大学之前的学习呢，基本目标是为了高考，高考的考纲是确定的，那么肯定很多技巧会偏应试一些，应试说白了就是加强你做题的熟练度、准确率、速度以及和出题人的心理博弈。但人生不是应试，没有人给你画考纲，反而你之前学习时你忽略的很多基本能力很重要，因为基本能力一般来说都是伴随你终生的，很多时候基本能力的提高也就意味着你的成长。

我再像上面那样讲下去，可能会跟老太婆一样罗里吧嗦地讲个1万字的小作文。数学怎么学容易点:微积分的话网上买本《普林斯顿微积分》，他一整套的话的应该是《微积分》《数学分析》《概率论》三本，学习的时候多结合高中知识，大学的东西多是一般和抽象的，你得想办法多联系高中时期的基本东西，高中会给你提供大量的具体实例，从而让你加深大学的一般与抽象的概念认识。举个例子比如你一上来就学的极限，首先你要先理解邻域的概念，如果你对邻域的概念认识不深刻，你就很难理解极限。邻域的理解又需要你对高中的集合、绝对值的数轴表示、变量有深刻的理解，因为邻域的静态表示可以衍生出一些动态的概念，而极限概念的N-ε语言，语言这种静态转为动态的表达，如果你想理解的更容易一点，那就是用图像来表示极限概念，极限的概念最好能抄写个10遍以上，默写出个五六遍。因为这样的话容易记得很牢，等你后面看到新的理解的时候，你可以从脑子里再把它搬出来。死记硬背不是学数学的正确方式，但是应试的强项，我们和国外的差距其实因为一些基本能力的缺失，已经很大了，也就剩死记硬背更熟稔了，所以别轻易放弃，不然就哪个也比不上人家了。那死记硬背有用吗，有用的。最开始我也认为是没用的，后来在丘成桐的传记里发现其实还是非常有用的。死记硬背虽然不懂，但可以先装在脑子里，你可以在各种情况下，比如吃饭前，排队时，走路的时候，把它从脑子里翻出来，再琢磨琢磨它。或者想用它的时候，可以在纸上把它默写出来，把它和你新认识、新学习的东西联系到一起，思考推演一番。像微积分的话他的具体实例一般和函数有关，所以你要把容易掌握的函数相关知识再学的深刻一些。再就是要扩展相关学科的阅读量，国内在大学以前的教科书外理工科相关知识的阅读量，一般来说是很少的，这方面国内和国外差距很大，要千方百计的找和你学的相关的东西的书看。另外学数学要懂一些哲学知识，逻辑知识，数学史知识，国内这方面是极其不注重的，你得把大学以前的跟国外的差距补上。哲学里面有方法论，逻辑和方法论也相关，而且逻辑有检验正确与否的重要作用。给你推荐几本书和一些文章相关的资料吧，数学的:
席南华院士的科普讲座文章《数学的意义》(讲了数学的很多基本思想和运用，以及要注意的地方。会极大加强你对数学的基本认识，里面有很多基本学习方法的运用，看你能参悟多少了。最后的结尾的问答对所有数学系学生都有好处，也要重点看看)
欧几里得的《几何原本》(这本书很重要，很多人对这本书只是只闻其名，却从来没看过，但数学专业的一定要看一看。这本书重要的不在于几何，而是在于通过几何的实例，进行了大量的逻辑推理。用5条几何公设，推理出了初等几何的基本所有定理，国内中学几何却将核心推理扔掉了
柯朗的《什么是数学 对思想和方法的基本研究》(这本看不懂是很自然的，因为里面有大量未接触过的知识，和之前未接触的视角。每一章都是由浅到深，浅的你通常都可能看懂，你可以重点关注他怎么延伸到深处的。你能逐渐看懂一些，你就会发现你的视野会有些成长，里面对大学以前的知识和大学以后之间的思想联系是讲的很透彻的，特别是实数相关的东西)
民国刘熏宇的《数学的园地》(他写的数学三书之一，《数学的园地》这本适合高中生和大学生看，其他的给小孩看的。我看这本书是忘了国内谷还是丘哪个数学家看的，讲微积分相关很通俗易懂，非常简单，同时可以和高中物理联系起来，我发现民国的书大部分书都这样，可能主要受众是受过一些教育的知识青年看的)。
各个数学家的传记(很容易从他们手里搞到他们学数学时好的方法经验或者受到的教训):丘成桐的《我的几何人生》，小平邦彦的《惰者集》，丘成桐的各个演讲其实也很好很有用，你可以在网上收集一下，我一会挑几篇我认为有用的都发在这个楼里吧。
哲学的:
初学者先看民国时的艾思奇《大众哲学》，里面有哲学的基本概念讲解，通俗易懂，国内民国的书好处一般就是语言朴实，容易理解。
对概念有了一般理解后看《中国革命战争的战略问题》(主要是学习其中一般和特殊的运用，数学中是用一般和特殊非常多的地方)
《论持久战》(主要是学习和运用其中古今中外的比较研究的运用，学数学也要注意古今(今指最新的)中外的资料收集和比对，这样才容易提高视野和认识，多角度穿透同一事物，从而加强全面的认识。这个意思很像盲人摸象，你摸的全面了，对数学很多东西认识就全面了。同时很类似看烟花从上面看、从侧面看、从下面看，会发现不同角度别人难以发现的美，学数学要注重多视角多维度的看东西)
笛卡尔的《谈谈方法》，笛卡尔的这本书是现代科学的思想奠基之作，里面提到的理性至关重要，里面他的很多方法对研究数学也至关重要。国内没有注意到理性和直觉的问题，直觉容易联系到实际，很具体、经验化，但容易被误导。常见的如，如果我们完全相信自己的感觉，如果我们没有见识过海平面，通常来说，我们通过眼睛认识到地球是平的

逻辑学的:
某木材厂的《形式逻辑通俗讲话》，(很薄，也很容易理解，就是一些东西很有当年的特色)，
斯蒂芬·雷曼的《逻辑的力量》《很厚，较容易理解，有题有答案，但讲解不多，很难认识到自己错在哪里》
人大的《逻辑学》(经典教材，题很多，容易找到相关辅导书进行检验)
和自学相关的传记类:有很多经验、方法和教训，一般数学家的自传或者回忆录好处就在此处，前面已经提到了两位，不过他们不是自学用的，
自学的话推荐华罗庚的《聪明在于勤奋，天才在于积累》，因为华是自学起家，他的经验非常好，适合我们用。
另外有本《徐利治访谈录》，也能从中可供借鉴的方法经验教训，可以看看。

我在2楼提到了基本能力，哪些基本能力比较重要呢。应该从哪里讲起呢，先说学习这事吧，首先要先树立个意识啊，就是学习不只是在学校这个地方和时间段的事，也不是只有学校那种的形式的才是学习。学习首先是一件终生的事，人如果见识经验要增长，能力要提升，他就要学习。人只要成长，他就要学习。学习不单只是说做题看书考试这种，你只要你通过一种形式比之前的你强了，你就是学习，包括不限于你深思熟虑的思考，推理，验证；和别人聊天谈话请教；仔细观察别人并模仿；仔细的观察事物并理性地记录下来，通过观察事物抽象出自己需要的属性，分析其内外联系；学会自己收集线索和信息包括不限于和别人的谈话中收集信息、通过书本等出版物收集信息、通过互联网查找和收集信息，通过不断地展示和练习语言能力。。。。。。。等等等等。
那在大学我们要注意哪些基本能力呢。自我学习的能力(这里面当然有很多能说的东西，这里暂时说的笼统点，后面仔细说)，自我时间规划和掌控的能力，自我身体状态认识、调整的能力(需要认识到什么时候什么情况是自己学习状态较好，效率较高的时候，在状态不佳的时候要有适合自己的调整办法，以及尽可能在时间规划时避开相关相关时段)，自我情绪和心理调解的能力(体育在这方面的起的作用很大，体育一方面可以作为排解负面情绪的工具，一方面可以作为面对困难、克服困难的一种意志锻炼工具；再就是白天的户外体育会带来更好的生活节律，眼睛见到阳光会让你保持作息的节律，同时增强免疫力和营养，同时会分泌一些好的激素，让你少一些负面情绪，从而让你保持精神充沛的状态)。搜集信息资料的能力，我们要认识到我们相比国外的学生，所接触到的数学认识是极为浅薄的，接触到的视野是狭隘的，我们需要在大学中尽可能的补足，外语的语言能力在这其中也是非常重要的，毕竟如果一些书籍暂时没有被翻译过来，或者翻译的不够准确、完整、好，语言我们自己去想办法找到并阅读。另外即使不考虑外语的问题，我们也发现同为中文体系的香港澳门、台湾、新加坡的数学相关书籍(比如大学教科书)，我们也知之甚少，更别提见到真东西了，如果算上他们用中文翻译过来的外文数学书籍，我们能知道的就更少了。逻辑推理能力，我们已经很久没开过逻辑课了，也没有见识过什么经典的逻辑推理过程(比如《几何原本》，逻辑检验过程，我们需要自己加强这方面的东西。数学对逻辑推理能力要求是很高的，我们的大部分是没怎么练习的，除了高中时段的充分必要条件，逆否命题这些基本只是做题练习的东西外，我们真正把逻辑应用在学习、生活中是相当少的。我们要学习逻辑并将其熟练运用到学习、生活中。另一个是表达能力，自学能力很大程度是是一种信息的输入能力，我们还需要将信息完整、准确、简洁、富有逻辑、魅力、美感地表达出去，这种表达可以是以说话这种声音语言传达出去的，也可以是类似我现在这样用文字将信息表达出去(当然我表达的不够好，书籍等其实也是这种文字信息，我们看书，特别是经典书籍，经常会有和伟人跨时空交流的感觉)，在数学上表达能力是非常重要的能力，特别是我们运用数学语言进行表达的能力(前面提到的极限概念写很多遍数的另一个好处，就是你会非常熟练的掌握N-ε的数学语言表达，对以后得数学语言变得不那么陌生了，同时N-ε这个数学语言也很好的展示了好的数学语言怎么用静态的概念展示动态的事物，极限概念这里，b站高数课的樊顺厚有一个经典的你先说解释，可以看一下，便于理解。极限其实很类似于你先说一个变量的误差范围确定其误差，我告诉你另一个变量应该在多大的范围内变化，才能让你先确定的变量一定在该误差范围内，用这个静态的方式形成一种对未来动态的表示)。当然你用图形、图像来表达也是一种表达，比如数学上很多情况图像的表示更直观，极限的概念用函数图像表示是非常直观的。华罗庚有句话，数无形时少直觉，形少数时难入微。这个也可看做是数学上特殊(具体)和一般(抽象)的关系，特殊的直角三角形，我们就觉得做起来容易，比如30度角，45度角，一般的直角三角形就觉得难一些，如果是更一般的任意三角形就更难一些。特殊(具体、形)的就容易特殊规律的显化，集合运算中用韦恩图就是一个很好的用图像直观运算的办法。一般(抽象、数(数是从事物属性中抽象然后衍生的一个概念，《数学是什么》里相当多的篇幅，讲了这些。席南华在演讲中称为量，往深了学的很多东西，可能没有了度量的属性，剥离了数的性质，比如集合的一些东西))，然后学数学还需要我们有一些抽象的能力，就是将现实事物抽象出我们需要属性作为概念进行研究，席南华的演讲《数学的意义》中关于七桥问题的抽象展示的很好，国内一般练习做应用题很多，但很多不会自己从现实中进行抽象，自己给自己出应用题。其实数学建模比赛也是类似的能力，一个是抽象的能力，将现实的问题通过概念的抽象转化为数学的问题。再一个是逻辑推理的能力，将这个问题推理演绎成更容易实现或者

或者更容易观测、更容易验证的基本问题，然后看能否设计实验或者系统模型解决这些问题。表达能力就是看你怎么准确完整且逻辑缜密地讲出来你的优势、过程和好的点。

另外需要的一些基本能力比如问题的形式转化的能力，一个问题通过一些联系可以转化为另一个问题，而新的问题可能更直观，更容易验证，或者更容易实践测量。这就需要一些逻辑推理的能力。再就是实验设计的能力，其实这个和前一个能力很像，我们一些实验现实中可能是无法实现的，或者成本过于高昂，所以我们需要将一些实验转化为其他的成本更低，更容易操作的实验，这也是一种能力。
学英语呢，其实是一种语言能力的锻炼，英语又是种和声音关系更紧密的语言。首先呢单词量一定是非常重要的，所以背单词是一定的。但背单词也有技巧，英语如果你熟练掌握音标，你会正确用音标发音，然后你记住声音后呢，是可以反推出拼写的，这样记单词是很快和牢靠的。学英语无非就是听说读写，多听多说，多看(阅读)多写。语法的话，感觉掌握不牢靠的话，《剑桥英语语法中级》不错。再就是多做题了，一般就是四六级单词和题。平常多说多听多练，多在英语语言环境下适应。
其实听说读(阅读，表示看)写，讲的一般一些呢也是基本能力，听和看是信息的输入收集，说和写是信息的输出表达。听呢主要就是声音的信息，包括通过与人交谈交流，社交，或者听老师讲课，听专家讲座，或者旁听别人对话，向别人请教都是听的输入。听主要就是通过看你的社交能力以及通过和别人交谈所能获得的信息以及从中得到自己需要的关键信息，或者你通过和别人的交流能认识到多大的认知界限。读其实应该说是看，一个是看你的观察能力，(这个观察能力一个看你能观察的多细致，一个是看你观察的多深入，一个是看你观察能不能排除主观的干扰，一个是看你观察的角度或者维度，你的角度独特或者多角度交汇，就会有好东西出来。)再一个是看你的阅读书籍的深度与广度，国内重视阅读量只在文学上，而且为了应试增强做题熟练度后面会压缩阅读量，这个就很难对一个学科的东西认识全面且深刻。表达前面已经说过了，不过表达还有一个好处是什么呢，就是说服别人，好的表达是可以选好受众后说服别人的。像我们看一些好的文章，或者听一些好的演讲，如果我们代入情绪感同身受，这就是一种好的说服。好的表达技巧、说服技巧是很重要的，一个是如果我们要团结协作，我们就要从道理上说服和团结别人，这样才容易思想统一进行协作。再一个是很多学术、商业事物上需要我们的表达能力和说服能力。国内的研讨课(seminar)是比较少，但这个却很重要，因为需要通过讨论互相分享自己头脑中的数学思想、观点、方法、新旧信息，因为数学中很多概念是比较抽象和衍生的，现实中很难找到具体事物来表示和展示的，所以需要我们需要良好的表达的技巧来清晰、准确、直观、简洁地表示出来，如果我们没有这种能力，那么我们头脑中即使有很多东西，也很难告诉别人。同时呢，一些商业事物也需要我们有一定的表达和说服能力，比如说我们要找合作伙伴，要推销自己的商品，要找投资人或者赞助商。那么我们都需要展示我们的优势、产品、愿景、理念、目标等等我们要展示的东西，以图来说服我们的目标受众。

人的成长主要是经验(具体、实际的东西的见得多了，进而可以进行比较、归纳，虽然也容易别误导，因为大多有其特殊性)和理论方法(掌握一般的方法论，基本原理和基本工具从而来深刻认识事物的本质，通过解决本质问题、主要矛盾，来达成自己的预期)。
钱学森有一篇文章讲的是比较好的

钱学森：中国科学技术大学里的基础课
中国科学技术大学是为我国培养尖端科学研究技术干部的，因此学生必需在学校里打下将来作研究工作的基础。什么是作研究工作的基础呢？那自然是多方面的，政治觉悟、专业知识、体质、阅读外文的能力等，都是基础。我们在这里要谈的不是这些，而是专业以外的基础课；这在科技大学分两类：一类是基础理论，也就是物理、化学和数学；一类是基础技术，如机械设计。这些基础课在科技大学教学计划中占很重要的位置，基础理论学时在各个专业里略有不同，但占总学时的三分之一左右；而技术基础的学时也占总学时的百分之十几。所以基础理论的比重在科技大学比一般工科学院要高，而基础技术的比重又比在一般理科专业要高。
一、重视基础理论的缘故
我们重视基础理论的缘故，是因为科技大学的学生将来要从事于新科学、新技术的研究；既然是新科学、新技术，要研究它就是要在尚未完全开辟的领域里去走前人还没有走过的道路，也就是去摸索，摸索当然不能是盲目的，必须充分利用前人的工作经验。可是在新科学、新技术领域里，前人的工作经验不会太多，因此我们只有更多地依靠一般的知识、也就是人类几千年以来和自然界作斗争的经验，通过总结所得出来的自然界一般规律。对我们来讲，其中尤其重要的是关于物质结构、性质和运动的规律，这就是物理、化学。它们也就是我们在摸索过程中的指南针，在许多条看来可以走的道路中，帮助我们判断那一条、或那几条道路是可以走得通的，而其余是走不通的。也就是说利用自然界的一般规律去分辨出，哪一个想法肯定是对的，哪一个想法可能是对的，而哪一个想法肯定是错的。自然，我们作研究，不必在已肯定是错的路子上去花工夫，而应该集中精力于肯定是或可能是对的路子上。
二、基础理论的重要性
举个例子：运动的一般规律告诉我们说，永动机是不可能的，所以一切包含永动机构的机器是不可能的，不必去想它。再如量子力学的规律告诉我们说，一切共轭量是不可能在同一瞬间绝对精确地测定的，质点的位置和动量就是一对共轭量，因此如果在微观世界里一个理论要求同时知道质点的位置和运动速度，那么那个理论就是错的，不必去考虑它。再举个例：化学键的能量是知道了的，特别是各种碳原子和氢原子之间的键，它们的能量我们知道得清楚，我们也知道二氧化碳分子和水分子的结合能，因此如果有人说他发明了一种比汽油能量大一倍的碳氢化合物燃料，我们也可以断定这位同志搞错了，那样的高能碳氢化合物燃料是不可能的，不必去相信他。
这些例子说明了基础理论的重要性，但我们也可以看出来要作这种原则性的判断，要求的还不是光知道自然界的一般规律，要求的是充分掌握这些规律，把规律的里里外外、前前后后都看得清清楚楚，摸得透。只有这样才能具有锐利的眼光，能在复杂的事物中分析出核心问题，不被形形色色的假象所蒙蔽，从而辨别真伪。所以科技大学里的物理、化学课除了教知识、注意和各个专业相结合，更注重这两门基础理论的系统性，要给学生一个清晰的全面概念和图象，要他们成为这两门学科的主人。为此，在辅导课里，我们也注意到养成学生分析事物现象的观点和方法；在独立思考方面，有所锻炼。自然，与物理和化学讲授课相辅的实验课，是有助于巩固规律的学习的；而且这些实验课，也使学生初步学到将来作研究所必不可少的工具、精密严谨的实验技术。
我们也要提一下，科技大学对化学这门基础理论，即使在各个非化学专业里，也是被重视的。我们知道新科学、新技术的研究和发展是和新材料分不开的，而要对不断出现的新材料，能了解和掌握它们的性质，或是要合理地提出还不存在的新材料要求，那就要比较系统的和全面的化学理论知识。
三、有效的研究方法——数学方法
进行科学研究的时候，我们必需研究各个因素和各个量之间的关系，进行量的关系的计算。当然计算与分析不是什么神秘的东西，在农业合作化初期，有些社的会计不是用黄豆粒的办法来记账吗？所以就是我们一点也不知道高深的数学，用些简陋的方法也并不是不可以；这里的问题不是能不能的问题，而是好不好的问题。用简陋的方法，虽然也能进行复杂的计算，但是太花时间，容易出差错；用高效能的方法就能节省时间，少出差错。那么什么是高效能的计算方法呢？那自然是要充分利用了数学的成果才能得到的。所以我们一方面不过高地估计数学方法，它不过是我们计算中的工具，它不能把本来没有道理的理论变成有道理，也不能把本来有道理的变成没有道理；我们另一方面也十分重视数学方法，因为它是一个非常有效的研究工具。

因此在科技大学里，我们的数学课是比较全面的，它的内容不比解放前大学数学专业所学的整个数学课少。但是我们的教法却与解放前的数学专业所用的教法大不相同，我们的教法，首先是唯物主义的，我们对每一个数学概念都从它来源讲起，说明它不是凭空掉下来的；在这里我们都引用实际科学问题的例子来解说。一个概念引入了之后，我们就进行系统的、严格的论证和发展，使学生有一个巩固的基础，即使他们在将来遇到了以前没有学过的数学工具，也能靠自己来掌握它。自然，我们在注重数学概念的同时，也没有忘了我们不是为数学而数学，我们学数学是为了作具体计算；所以在每讲了一个数学的概念和系统论证之后，我们还通过具体的实际问题来解说使用这个理论的方法。我们认为这样能把数学的理论与实践相结合起来，让学生既充分掌握理论，也能灵活地使用理论，进行计算和分析。
四、基础技术的重要性
在科技大学里的另一类基础课是基础技术，这有包括工程画、机械原理、材料力学和机件设计的机械设计课，也有包括电工和电子技术的电工电子学课等。我们重视这些课的缘故是：在新科学、新技术的研究工作中，常常要设计比较复杂的实验装置，例如研究高速空气动力问题就得有超声速的风洞，研究基本粒子物理就得有高能加速器；要设计这些设备就不能用敲敲打打的办法，必需进行比较正规的技术设计。因此基础技术的训练就非常必要了。
我们重视基础课，不但可以从学时所占的比例上看出来，而且也可以从科技大学基础课的教师名单上看出来：在我们基础课教师中有中国科学院副院长、数理化学部学部委员、物理学家吴有训，有中国科学院数学研究所所长、数理化学部学部委员、数学家华罗庚，有中国科学院技术科学部主任、数理化学部学部委员、物理学家严济慈，有中国科学院化学研究所研究员、数理化学部学部委员、化学家王葆仁。其他基础课教师也都是中国科学院各研究所的高级研究人员。这些教师们在学术方面都是有成就的，知识面也广，因此他们对学科都有比较成熟和特有的看法；学生能和他们经常接触会得到深刻的启发。当然，这些高级研究人员的任务是很重的，再要抽出时间来讲课并不容易；但是为祖国迅速地培养一批尖端科学的青年干部，这是一项光荣的任务，再多白一些头发又算什么？
（《人民日报》1959年5月26日第六版）

学微积分的时候我们也能发现一些一般方法较特殊方法较为好用，比如求极限，一般来说泰勒展开通用性非常强，不需要用各种特殊方法或者技巧如洛必达法则(洛必达因为前提必须为0/0型或者无穷比无穷型，求导后不一定能求出极限或者继续洛下去)等来试错。在数学中我们要多注意一般方法和一般问题，掌握一般方法我们就如同拥有类似泰勒展开的万能钥匙，可以开其领域内的所有门。注意一般问题，是如果我们一旦解决一般问题，诸多领域的大门将为我们洞开。

丘成桐的几篇演讲:
我从1979年第一次到北京，就希望将中国的数学提升成世界第一流的水平。我觉得数学是整个社会，尤其是现代社会最需要的一环。培养大量高素质的数学人才，将迅速提升中国的科学水平和自主创新能力。
年轻人要努力地思考和跟人合作
我的朋友对我说，你在谈话和讨论学问的时候，并不见得是个天才，不见得很聪明，可是为什么可以做好的数学。我想主要的原因是我愿意思考。我觉得不停地思考是个很有意思的事情，因此也有相当的成就。但我一个人无论思考多深刻，也不可能突破几千年累积下来的数学成就。我需要跟我的朋友多交流，才能够有突破。
所以我鼓励年轻人要努力地思考，努力地跟朋友一同合作。我们成立这个奖，就是期望、鼓励我们的中学生能够对数学有浓厚的兴趣，能够愿意成年累月地想一个问题，不是一朝一夕就放弃掉的问题，考试完了就忘了的问题。我们也期望中学生能够多合作多交流，还期望我们的年轻人能够尊师重道，所以我们这个奖需要以团队形式报名参赛，奖励学生，也奖励老师。
我们的中学教育比不上西方的全面和优越
我在海外这30多年来，带领了差不多40个中国的博士生。我总想到这些学生乃是国家以后的栋梁，不敢不兢兢业业地辅导他们走向正直的大路。看到他们的成长，我觉得很高兴。但是也看到有些失败的，我因此觉得不愉快，总觉得自己没有尽到做老师的责任。我想成功跟失败的原因都可能追溯到学生们在大学、在中学、在小学或者是在家里的教育，这点我自己有很深的体验。
教育的目的不仅要让学生懂得书本上介绍的基本知识，也需要培养学生应变、创新和领导群体的能力。前者可以在不断的考试中磨炼出来，我想这方面中国的学生在考试里面磨炼不少了。至于应变、创新和领导群体的能力，恐怕单靠考试是不够的。中国古老的教育，有很多地方值得我们学习。但用文化的修养、人格的教育和勇于创新的精神作为标准来衡量，就发现我们的中学教育比不上西方名校教育学生的全面和优越。
数学是中学和大学最受重视的一门学科
西方的教育，从小学开始就训练小孩子的表达能力，无论语言和文字的技巧都得到良好的训练。一般来讲，受过这种训练的孩子都能够毫无困难地在集会中表达自己的想法和科研的成果，因此他们在课堂上能够自由发挥自己的意见而得到老师跟同学的重视。我们常常讲，中国的学生为什么到了美国念研究院，讨论的时候比不上国外的学生，我想这是他们从小训练出来的一个结果。
除了语言以外，推理是西方教育很重要的一环，因此数学是中学和大学最受重视的一门学科。欧氏几何定理不见得对社会有直接贡献，可是它的推理方式却是最有效的逻辑训练。以前，美国主要的大学非常看重两门学科，一个是语言，一个是数学。语言和数学不能够得到高分的话，他们基本上不会考虑接受你做他的大学生。最近还加了一个写作的能力，三门，语言、数学和写作，这三点是美国所有名学校最重视的训练。
很多美国中小学还加上基础的法律训练。懂得法律和遵守法律是现代国民应有的知识和操守。
美国小孩的用功并不比中国学生差
一般来讲，美国中小学鼓励学生交流。初中二年级以前，美国的中小学都比较鼓励小孩子发挥所长，让他尽量去博物馆走走，去运动场上玩玩。我们中国有的教育家因此以为，美国的中小学生不行，比不上中国。事实上，到了初三、高一以后，美国小孩的用功并不比中国的学生差。他们不用考试来训练学生，也很注重他们的基本能力。我们看到很多好的美国小孩，他们到了高中一年级或二年级才开始发挥热情，拼命去念书。到了大学以后，他们不会觉得学问是枯燥的。美国的名校我去过好几个，在念理科重要的学科的时候，他们很用功，花的功夫绝对不会少，往往是念书念到两三点钟才睡觉。而中国很多小孩经过小学和中学沉重的考试冲击以后，丧失了追求学问的兴趣和热情，这是很可惜的。
哈佛大学的校徽上写着：我们要有热情追求真理（国内通常译为“要与真理为友”，编者注）。我觉得这是一个很重要的事情。假如你对这个没有热情的时候，念什么学问都不可能念得好的。我们设立这个奖，就是期望我们的年轻学生能够好好去想，好好去看，不单从考试的模式来看待学问的成与败。学术交流可以说是人生的享受，希望你们珍惜这个机会，也希望你们尊重老师们为你们付出的心血。
来源：中国教师报

2022 年 9 月 22 日，丘成桐院士受邀参加“人文清华”讲坛，讲述《学“问”》，以下为整理并由丘先生增补后的演讲稿全文，刊登于《数理人文》（订阅号：math_hmat），未经许可，不得转载。
今天，我很高兴能够在这里与大家一起讨论做学问的过程。1979 年，我第一次回国，到今天差不多 40 多年，与很多中国数学家、科学家来往，遇到了很多很好的朋友、学生，同时尽我最大的努力培养华人数学人才。最近十年来，我花了不少功夫在清华大学，聘请了一批世界第一流学者加盟。我很高兴的看到，中国的数学和基础科学蒸蒸日上，这几年有了很大发展。一个很重要的事情我始终希望跟我的同事、学生们分享，那就是，中国数学和基础科学的前途到底该怎么走。
我们要走的是一个很好的方向，是能够带领全世界数学和基础科学走向的方向，才算得上世界第一流。假如我们做学问都是跟着人家后面走，始终不能解决重要的问题。我们遇到的所谓“卡脖子”的问题，正是因为在很多重要问题上，还是跟着别人走。原创者，在自己创作的基础上跳跃前进比较容易；至于非原创者，一般来说，只能够在他人创作的基础上改变一点点，走得不远，结果不得不受制于人。
今天我想花点功夫跟大家讨论，什么是第一流的学问，特别是第一流的学问在数学领域是如何产生的。
什么是学与问？
首先，我们要晓得，学问有两个部分，一个是“学”，一个是“问”。这个问题两千多年前孔子就说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。思考其实就是问，思考与问问题差不了太远，要问就必须思考，思考就会提出问题，这是分不开的。我们中国人学习很好，考试考得很好，高考考出很高的分数，甚至奥数也表现得很好。我们学习别人提出来的各种方法和技巧，磨练的很熟，再去回答别人问出来的问题。这很好，表示我们很有能力。但是，仅仅善于答题，对于学问、对于科学、对于数学的发展来说，能产生多大的贡献呢？可惜，贡献并不多。我们跟着人家后面走，解决人家提出的问题，这些问题也不见得是大问题，而是小问题。我们虽然不断地获得奥数金牌，但是还没有能够出现一大批解决真正伟大的数学问题的学者。因此，我们一定要晓得到底如何做学问，如何做一流的学问，这也是我今天要讲的重点。我也会讲几个例子，希望大家能够感受到我的想法。
其次，做学问除了“问”以外，还要勤奋学习。学习是一个很重要的事情，没有基本工具，光靠思考没有用。孔子说“思而不学则殆”，就是说只思考不学习，是远远不够的。从希腊到今天，数学科学的发展已经有 2500 年的历史，在这中间有很多颇具天赋，甚至可以称之为天才的大数学家，他们累积了很多了不起的学问。从当年希腊伟大的数学家欧几里得、毕达哥拉斯、阿基米德，到后来的费马、笛卡尔、牛顿、高斯、欧拉、拉格朗日、黎曼、希尔伯特等，都是天下古今少有的伟大学者。他们为什么能够千古留名呢？因为是他们一层一层地将数学这幢大厦搭建得越来越高。无论我们天分有多好，有多擅长思考，我们的学问、创造力都必须以他们的学问为基础。例如，就算是一个普通的工程学家，也不可能不用微积分。微积分就是从阿基米德那个时候慢慢发展，由牛顿、莱布尼茨最终完成。我们没有办法跳跃，每一步都必须建立在前人学问的基础上。勤奋是必不可少的，我们要学习伟大学者的学问，打好基础，才能继续向前走。牛顿讲道：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。这绝对不是谦虚而已。牛顿做的很多东西，先前的科学家、数学家也曾考虑过，只是没有他考虑的这么完美，后世就不再提及了。事实上，牛顿的工作都是在前人的基础上做出来的。今天，我们要带领世界学问的潮流，非将前人的学问学好不可，勤奋是绝对重要的。我这几年来一直讲数学史，就是希望大家晓得学问的是如何传承下来的。
为什么要问问题？
“寻天人乐处，拓万古心胸”，这是我父亲写的对联，我做了一点修改。究其根源，我们所做的学问，尤其科学和数学上，都与大自然有很密切的关联，我们要在追寻大自然奥秘的过程中，找到它最有意义、最有乐趣之处，从而对大自然有深入的了解。假如我们不了解、不欣赏大自然的奥秘与乐趣，学问是始终做不好的，这就是“寻天人乐处”。“拓万古心胸”是说，做学问不只是为了高考、为了拿奖、为了做院士、为了拿诺贝尔奖金，而是希望所作的学问能够在科学史上留下重要的轨迹。我们今天读诗经、楚辞以及李白、杜甫的诗词，虽然过了千年，还是觉得很有意义，能够引发我们的共鸣。他们对大自然的美、对人世喜怒哀乐的描述，让人觉得亲切自然，这就是我说的“天人乐处”。我们做的学问也要引起后代的共鸣，让他们晓得我们今天开创的方向、发现的规律是多么有意义。
我们要考虑整个学问向前走的方向到底是什么，应该如何去认识数学的内在结构，这是许多大数学家常常思考的问题。大学问家往往会提出很多问题，这一点很重要。

我们要考虑整个学问向前走的方向到底是什么，应该如何去认识数学的内在结构，这是许多大数学家常常思考的问题。大学问家往往会提出很多问题，这一点很重要。但中国的科学家不大爱问问题，不大问自己原创的问题，更多的是解答别人的问题。虽然解答的不错，但这不见得是数学和科学的真髓，重要的是要找出自己的方向。中国最伟大的一篇讲问问题的文章是屈原的《天问》，里面问了很多问题，文章很浪漫，但欠缺系统的思维和逻辑思考的结构，也没有足够的工具回答这些问题，始终没有完成“问”的主要精神。
《礼记·学记》说：“善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣。”对我们来说，这个钟，就是大自然和万物运行的规律。深入的问题能够指向大自然奥秘的深处，很快引出其它有意义的相关问题。
希尔伯特二十三问
在数学历史上，一个非常重要的问题集，就是希尔伯特 23 问。1900 年 8 月 8 日，这位德国数学家在巴黎国际数学家大会上做题为《数学问题》的演讲。希尔伯特认为，从 19 世纪进入 20 世纪，提出一些重要的问题，对于推动学科进步的作用毋庸置疑。他说，一个学科能够产生大量重要问题，才能保持活力。他是当时最伟大的数学家，吸引了不少人听这个演讲。这 23 问基本上引领了数学界五十年的发展。23 问不是全部由他提出，也有从前大数学家的问题，比如黎曼等。他将重大的问题收集起来，又增加了自己的问题，这是希尔伯特引领一代风骚的重要时刻。这些问题至今并没有全部解决，但其中部分问题的解决，就已经促发了数学学科重要的发展。
丘成桐一百二十问
1978 年，我在普林斯顿高等研究院组织几何年特别会议 —— 微分几何论坛，带领一批数学家、几何学家研究几何方面主要的方向。会议最后几个礼拜，我徇众要求，作为领导的几何学家提出几何方面最重要的问题。我于是提出了 120 个问题，虽然我的问题无法跟希尔伯特 23 问相提并论，但还是很有意义。为什么我要问这些问题？因为 120 问对当时几何学遇到的困难主要在什么地方进行思考，同时指出学科向前走的方向，以及解决后会产生什么重要的结果和影响。这些问题到了今天，大概三分之一被解决，值得高兴的是，大部分都是正面的解决，基本印证了猜想的方向是重要的、是正确的，很多数学家为了解决这些问题也得到了很好的结果。我到现在还是很高兴，自己做到了这个事情。
一些好的问题短期内不见得有很大的影响力，因为需要花时间去消化，去思考。但是，这些问题一经提出，往往会影响到数学中某些学科的方向。这 120 个问题促成了一个重要的学科 “几何分析”的发端。很多好的几何学家对这些问题都有兴趣，推动了这个学科的发展，再次印证了问问题是很重要的事情。
但是，问题有好的，也有不好的。什么叫好的问题？好的问题就是，思考这个问题本身，就发展出一系列的想法、催生出一系列文章。无论最终是否解决，仅仅推敲、研究这个问题的过程都很重要。好的问题一般简洁、很漂亮，可以解决数学上很多疑难。解决了它，所在领域里许多问题都会随之解决。这就好像在长江里面有一块巨石，将巨石挪开，水流就会顿时变得更顺畅，好的问题会让人豁然开朗。
我现在来讲讲当年我提出的 120 个问题中的两个题目，虽然它们到今天还没有全部解决，但是很多学者花了不少功夫，也得到很多重要的发展。

数学中的赋比兴
完成上述猜想的过程中，我的基本方法是，比较两个完全不同的观念，一个是几何的观念，一个是量子力学的观念，最终得出曲面最小的谱等于 ，当然还有待严格的证明。这种手法其实是数学研究中的惯用手法。数学是很奇妙的学问，它是一个讲究推理、讲规则的学问。我们可以通过它们的规则和思想来做比较，就可以得到有意义的猜想。
诗经里讲“赋比兴”，我认为与我们做数学也有着很密切的关系。所谓 “比”，即用不同的景物类比，比如杨柳代表离别或者美人的腰枝。讲起离别，不免想起《诗经》写道“昔我往矣，杨柳依依。”周邦彦笔下“长条故惹行客。似牵衣待话，别情无极。”以及柳永的名句“杨柳岸，晓风残月。”而说道美人的腰肢，则忆起张先的“细看诸处好。人人道，柳腰身。”这都是缘于柳条细而柔所作的类比。更有温庭筠的“柳丝长，春雨细，花外漏声迢递。”、周邦彦描写“长亭路，年去岁来，应折柔条过千尺。”...
这种种不同的比较，也是数学上常用的手段。数学研究者们应该考虑这个思路，不能只做题目，看到数字就是数字，看到方程就是方程，它们中间有很多可以比较、可以关联之处。
好问题从何而来？
好问题从什么地方来，怎样才能解决它？我们首先要了解不同的观点，就像我提到几何的观点与量子力学的观点。历史上，重要的大学问的完成，往往是不同学问之间碰撞产生火花促成的。外尔是一个伟大的数学家，也是一个伟大的物理学家，他在量子力学和几何学之间搭建了一个桥梁。因这个桥梁，孕育出一批很好的数学家，一个全新的路径。找到自己的方向，对我们来讲是很重要的事情，也是问出好问题的重要途径。
还有一个途径，可以产生好的问题。要解决一个大问题时，往往要有很好的工具。工具的发展是不断精益求精的过程，每个新工具又促进学问继续发展，新工具让我们看到不同现象，提升我们看待问题的深度，又促发我们进一步发展工具。工具越多，越能产生更深刻的、更有效的解决问题的方法。每一次工具的进步，都带动有意义的、重要的、突破性的学问的发展。
在伽利略时代，他看到地球是太阳系里的行星，这引发了牛顿力学的发展。此后，人类看得更远。到了 20 世纪初期，我们了解到太阳系外还有银河系，以及不同的星云。每一次跳跃都是伴随着“望远镜”这个工具不断发展的。数学上也同样如此，我们在解决问题时，最初的工具远远不够，还要不断发展新的工具。
费马猜想的解决也是如此。费马猜想距今已经有 300 多年的历史。直到 30 年前，英国大数学家怀尔斯（Andrew Wiles）才解决了这个问题。在怀尔斯之前，几百年来，大数学家们都有兴趣解决这个问题。费马和欧拉就解决了 时的情形，使用了椭圆曲线的方法，得出很重要的结果，但是仅限于 的情形。19 世纪，德国数学家库默尔（Ernst Kummer），以为自己可以解决费马问题，结果没有成功，但引入了代数中的重要概念，即理想(ideal)，带动解决了一大批问题，但还是没有根本解决费马猜想。到了 20 世纪，出现了更多不同的方法，其中一个重要的方法，是由日本数学家谷山丰（Yutaka Taniyama）跟志村五郎（Goro Shimura），以及法国大数学家韦伊（André Weil）提出的谷山-韦伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura conjecture)，成为解决费马猜想的重要工具，最终由怀尔斯解决了这个 300 余年的题目。
欣赏数学之美的同时，我要欣赏数学美与真背后的规律。了解了它的美和规律，通过不断地比较，提出重要的、具有开创性的问题。而一个学科重要的问题，只有在不断学习中，才能慢慢体会。
何为伟大的工作？
伟大的数学家都有一套自已对学问的看法（Philosophy），这些系统的、深邃的、崭新的观点给古老的数学注入新的活力，因而产生一系列有意义的问题。正如西方歌剧《浮士德》、中国古典《红楼梦》一样，都是由不同部分组成，每个部分又自成一格，有其独特之处，但无论牡丹、绿叶，终须大师写下纲领，方可将零散的部分组合一番，成为一幅瑰丽的图画。
所以，我们要创立一个这样的纲领。在这纲领的指引下，将各个不同的学科分支放在一起，才能构建出一个宏伟的大厦！一般来说，要完成这种宏观的看法，并非一人一时之工，一人一时之问，有时长达一个世纪，才看得出这些纲领的威力。1854 年，黎曼在伟大的就职演讲《论作为几何学基础的假设》中，给出了几何学的一个纲领。他通过物理学中的等价原理建造了新的内蕴几何，完成了广义相对论重要的部分。二十世纪初期，外尔开发李群的表示理论和规范场理论，成为现代理论物理的基础。韦伊则在上世纪定下用代数几何作为工具硏究数学的方向，完成了数学历史上一个伟大猜想 —— Weil 猜想。