如题，学复变的时候看到书上写的关于单连通区域上的解析函数一定有原函数的证明过程，感觉里面根本没用到单连通这个条件，或者说 我感觉好像证明过程稍微改改结论就可以变成在连通区域上都成立了啊
这一节是讲柯西定理的，这书的行文是先证单连通区域上的解析函数沿三角形周界积分得数为0，再直接推出沿闭合折线积分得数同样为0；然后说本书不用"用折线逼近曲线"的方法证明柯西定理，接下来证明了凸区域内解析函数必有原函数（第二张图，其实在这里我就有疑问了，他貌似并没有用到凸性，把证明过程里的沿线段积分全换成沿折线折线积分不是好像可以证明只要区域有连通性，那其上的解析函数必有原函数吗？）（这书的上一任主人在书上写了笔记"若不是单连通区域则没有原函数"，我懵了啊 为啥多连通不行 有没有什么比较简明的反例？）之后，这书证明了推广版牛莱公式，柯西定理，积分值不依赖于曲线，最后应用柯西定理得到了：单连通区域上的解析函数必有原函数。啊？为什么兜这么大一圈啊？中间的那些东西有什么用啊？或者说我所谓的直接证明连通区域上的情况的想法出了什么问题？还有就是为啥必须单连通才有原函数啊多连通不行吗？有没有反例？
不知不觉打了好多字主要是我真怎么也想不通了想了半节数据结构课了希望有大佬不吝赐教