一个十分恐怖的无穷级数，可以如何证明呢？

MSE的3366039，关于欧拉和生成函数的一个小合集。

不感兴趣

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这个东西就叫欧拉和，这个题目也是基于mse上一位大佬的推导

其实原理不怎么复杂，因为知道一些多重对数函数的定义和分部积分就可以推导

把题目简化一下模样就得到这个形式的生成函数

把这个操作用公式展示就是下面第一张图的模样，过程比较简单，第二张图也是我们要接下来用到的第二个引理

接着我们用第一张图和第二张图交换求和次序的原理作用在整个式子，会发现要研究的是底下两个级数的生成函数

第一个级数把n的平方分之一写成积分的形式，这里用到调和级数的生成函数公式，当然直接用六楼的第二个引理也是没问题，接下来就是无脑分部积分的操作了

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在证第二个级数前不妨先考虑它的他求导后是什么式子，接着再用交换求和次序的操作，会发现它的导数有个很漂亮的形式，那就可以进一步积分求回原来的表达式是什么了

把上面的结果全部加起来，于是就有了这个漂亮的结果

到这里还是不禁有一个猜想，这种简单形式的欧拉和应该就是多重对数函数之间的线性组合

mse是均方误差吗

哦吼

唉呀。

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谢谢咕哒的分享，学到了

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