应该和p是素数没有关系, 只要比较大小就可以
因为p=1时无解, 模2可得p为奇数, 所以p≥3,
当t≥3时p^t≥3^t > 2t²+1, 所以t=1,2, 代入原方程得到的都是p=3, 全部正整数解是(p,t)=(3,1),(3,2)

好像用数学归纳法可以证明除了(3,1)(3,2)以外都没有，左边增幅明显大于右边

如此

只有p=3, t=1以及p=3, t=2
由于2t²+1一定为奇数，所以p≥3，
当t≥3时，2t²+1＜3^t
证明3^t＞2t²+1:
3^t=(1+2)^t=1+2t+2t(t-1)+……＞1+2t+2t(t-1) #取其中前三项 =1+2t²
所以∀t＞2，2t²+1＜3^t≤p^t
所以，符合条件的只有p=3, t=1以及p=3, t=2.
Q.E.D.

如此

当p=3，t=3时左边大于右边，当t=4时，3^4>4^3>2*4^2+1，当t=5时，3^5>5^3>2*5^2+1，之后同理可证，当t>p时，用x^(x+a)>(x+a)^x这个结论，当p=4，t=2时，显然左边大于右边，t=3时，显然左边大于右边，之后同理，当p≥5，t≥2时，左边都大于右边

路过留名，觉得挺有意思的