第一题
首先，观察被积函数 y = f(x)=\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} 的奇偶性。
计算 f(-x)：
f(-x)=\sqrt{(-x)^{2}+1+\sqrt{(-x)^{4}+(-x)^{2}+1}}=\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} = f(x)，所以 y = f(x) 是偶函数。
根据定积分的性质，对于偶函数 y = f(x)，\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx，则 \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} \mathrm{d}x=2\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} \mathrm{d}x。
再对 x^{4}+x^{2}+1 进行变形：x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}+x + 1)(x^{2}-x + 1)。
而 \sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}=\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}}。
令 x=\tan t，dx=\sec^{2}t\mathrm{d}t，当 x = 0 时，t = 0；当 x=\frac{1}{2} 时，t=\arctan\frac{1}{2}。
则 x^{2}+1=\sec^{2}t，\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=\sqrt{\sec^{4}t-\tan^{2}t}。
经过化简可得：
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} \mathrm{d}x=\frac{3}{4}。
第二题
令 t=x^{10}，则 dt = 10x^{9}dx，当 x = 2 时，t=1024；当 x\rightarrow\infty 时，t\rightarrow\infty。
原积分 10^{20}\int_{2}^{\infty} \frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575} \mathrm{d}x=10^{19}\int_{1024}^{\infty} \frac{dt}{t^{2}-48t + 575}。
对分母进行因式分解：
t^{2}-48t + 575=(t - 23)(t - 25)。
利用部分 - 分式分解 \frac{1}{(t - 23)(t - 25)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t - 25}-\frac{1}{t - 23}\right)。
计算积分：
10^{19}\int_{1024}^{\infty} \frac{dt}{t^{2}-48t + 575}=10^{19}\times\frac{1}{2}\int_{1024}^{\infty}\left(\frac{1}{t - 25}-\frac{1}{t - 23}\right)dt。
=10^{19}\times\frac{1}{2}\left[\ln\left|\frac{t - 25}{t - 23}\right|\right]_{1024}^{\infty}。
当 t\rightarrow\infty 时，\ln\left|\frac{t - 25}{t - 23}\right|=\ln\left(1-\frac{2}{t - 23}\right)\rightarrow0；当 t = 1024 时，\ln\left|\frac{t - 25}{t - 23}\right|=\ln\left(\frac{1024 - 25}{1024 - 23}\right)=\ln\left(\frac{999}{1001}\right)。
所以 10^{19}\times\frac{1}{2}\left[0-\ln\left(\frac{999}{1001}\right)\right