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对取定的概率空间(Ω,S,P)，考虑随机变量X,T: Ω—> (R, B) (B表示实直线上的Borel-σ代数)相互独立且满足X～N(0,1), T的像测度Q=Po(T^-1)满足Q(1)=Q(-1)=1/2. 那么考虑随机变量X以及Y=TX，对实直线上任何一个Borel可测集B，(TX)^-1 (B) 可以拆分为T^-1({-1})交X^-1(-B)与T^-1({1})交X^-1(B)的不交并，由测度的有限可加性知PoY^-1(B)= PoT^-1(1)•PoX^-1(B)+ PoT^-1(-1)•PoX^-1(-B)=1/2 PoX^-1(B)+ 1/2 PoX^-1(-B)= 1/2 PoX^-1(B)+ 1/2 PoX^-1(B)= PoX^-1(B)(实际上就是全概率公式). 这就推出了Y～N(0,1).
由X和T的独立性立刻知道Cov( X, Y)=0，但是X和Y并不独立.
由X和T的独立性立刻知道Cov( X, Y)=0，但是X和Y并不独立.
给个经典反例，
设随机变量X~N(0,1)，
随机变量Z~((-1,1/2),(1,1/2))，
（即Z=-1的概率是1/2，Z=1的概率是1/2）
随机变量Y=XZ，
（此时X和Y并不独立）
下面证明Y~N(0,1)且X、Y相关系数ρ(X,Y)=0。
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
证明①：
P(Y<=y)
=P(XZ<=y)
=1/2*P(X<=y)+1/2*P(X>=-y)
=1/2*P(X<=y)+1/2*(1-P(X<=y))
=P(X<=y)
=Φ(y)
∴Y~N(0,1)；
证明②：
ρ(X,Y)
=Cov(X,Y)/((DX*DY)^(1/2))
Cov(X,Y)
=E(XY)-EX*EY
=E(X^2*Z)-0*0
X^2和Z独立，
所以原式=E(X^2*Z)
=E(X^2)*E(Z)
=0，
∴ρ(X,Y)=0，
如此，证明了X、Y都服从N(0,1)且X、Y相关系数ρ(X,Y)为0的条件下，
Y=XZ（即X、Y不独立）
设随机变量X~N(0,1)，
随机变量Z~((-1,1/2),(1,1/2))，
（即Z=-1的概率是1/2，Z=1的概率是1/2）
随机变量Y=XZ，
（此时X和Y并不独立）
下面证明Y~N(0,1)且X、Y相关系数ρ(X,Y)=0。
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证明①：
P(Y<=y)
=P(XZ<=y)
=1/2*P(X<=y)+1/2*P(X>=-y)
=1/2*P(X<=y)+1/2*(1-P(X<=y))
=P(X<=y)
=Φ(y)
∴Y~N(0,1)；
证明②：
ρ(X,Y)
=Cov(X,Y)/((DX*DY)^(1/2))
Cov(X,Y)
=E(XY)-EX*EY
=E(X^2*Z)-0*0
X^2和Z独立，
所以原式=E(X^2*Z)
=E(X^2)*E(Z)
=0，
∴ρ(X,Y)=0，
如此，证明了X、Y都服从N(0,1)且X、Y相关系数ρ(X,Y)为0的条件下，
Y=XZ（即X、Y不独立）
