首先，x, y≥2，则x!与y!均为偶数，x!+1与y!+1均为奇数，所以x, y均为奇数，且x, y≥3，而m, n≥2，对于m=2的情况，只有4!+1=5², 5!+1=11²以及7!+1=71²三组解，而对于m≥3的情况无解，所以，只能m=n=2, 经检验得：原方程无解

怀疑是钓鱼题，x！+1=n^2都没有解决，而且还n≥2

假设y≤x, 可以把x!和y^m-1 分别写成 2^r*a 和 2^s*b 的形式, 其中a和b是奇数, r和s是非负整数
2楼已经推出x!和y-1都是偶数, 所以r和s都大于0
由于1~x至少有[x/2]个偶数, 所以2^r≥2^[x/2]
另一侧由LTE引理可以推出2^s≤(y+1)m
如果x!+1=y^m, 那2^r=2^s, 可得2^[x/2]≤(y+1)m
同时由y^m= x!+1 <x^x, 取对数可得 mlogy < xlogx
则 2^[x/2] / xlogx ≤ (y+1) / logy
因为y≤x, 求导可以证明,如果y≥4, 则
(y+1)/logy ≤ (x+1)/logx
这时 2^[x/2] / xlogx ≤ (x+1)/logx, 2^[x/2]≤x(x+1), 只可能x≤17
检验可得4≤y≤x≤17时, x!+1=y^m没有整数解
另外当y=2,3时 y!+1=x^n只有(x,y,n)=(3,2,1),(7,3,1)的整数解, 都不符合x!+1=y^m
同理可证, 当x<y时原方程组也没有x,y≥2的正整数解

犯傻了
如果y≤x, 由x!=y^m-1可以推出y|1, 只可能y=1, 当x≤y时也同理

x！+1＝yᵐ
y！+1＝xⁿ
若x＝y，x！+1＝xᵐ，右边是x的倍数，左边不是x倍数，等式不成立
若x＜y，y！+1＝xⁿ，y！中有x的因子，y！+1与x互质，等式不成立

我问了一下，AI你们看对吗？