要真正的证明，需要根据质数的定义：
对于偶数E，我们将偶数E表示成为二个自然数Nx和Ny之和；如果Nx和Ny都不能被所有质数Pn整除，则Nx和Ny都是质数，则偶数E表示成为二个质数Px和Py之和的表法的数量为：
G（E）＝ E/2 ×（1/2）×（1/3）×（3/5）×（5/7）×××（Pn－2）/ Pn ＋ X －1
G（E）≥ E/2 ×（1/2）×（1/3）×（3/5）×（5/7）×××（Pn－2）/ Pn －1
≥ E/2 ×（1/2）×（1/3）×（3/5）×（5/7）×××（N－2）/ N －1
≥（E/4）/ E^0.5 －1 ＝（E^0.5）/ 4 －1
由于G（E）≥（E^0.5）/ 4 －1 是上升曲线，所以，哥德巴赫猜想成立；（1988年）

一、哥德巴赫猜想的证明方法
哥德巴赫猜想是数论中最古老的未解决的问题之一，按现代的说法，每一个大于二的偶数都可表为两个质数之和。
设 N 为大于2的偶数，设 N = (N－Gp)＋Gp，其中 N－Gp 和 Gp 都是质数，质数Gp{Gp≤N/2}被称为偶数N的哥德巴赫质数。
设 Gp(N) 为偶数N的哥德巴赫质数的数量。偶数N表为两个质数之和的表法的数量，这里有二个质数是重要的，当N/2 不是质数时，有 GP(N) = 2Gp(N)；当N/2 是质数时，有 GP(N) = 2Gp(N)－1。
哥德巴赫猜想表示，对于每一个大于二的偶数N，有 Gp(N) > 0，或者 GP(N) > 0。
我们知道，对于每一个不大于五十万的偶数N，哥德巴赫猜想是正确的，因此，我们只需要证明：每一个大于五十万的偶数N，哥德巴赫猜想是正确的，也就是有 Gp(N｜N ＞500000) ≥ 1。

二、关于哥德巴赫质数的筛法
设N为大于五十万的偶数，那么，偶数N可以表示为如下形式：
N ＝ ( N － Gn ) ＋ Gn, Gn ≤ N / 2 (1)
式中Gn为不大于N/2的正整数。
筛法：
设 N－Gn 和 Gn为二个正整数，如果 N－Gn 和 Gn 任何一个数能被质数P 整除，那么，筛去该正整数 Gn；如果 N－Gp 和Gp 不能被不大于√N的所有质数整除，那么，N－Gp 和 Gp 同吋为质数，我们把质数 Gp称为偶数N的哥德巴赫质数。
定理一：
设Pc为奇质数且是偶数N的因数，且不大于√N，那么，N－Gn 和 Gn同时不能被质数Pc整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R(N,Pc) ＝ INT{ N/2 － N/2/Pc } / (N/2) ＝ { INT(N/2) － INT(N/2/Pc) } / (N/2)
证明：
由于Pc是偶数N的奇质因数，因此，N－Gn 和 Gn 同时能被质数 Pc 整除，或者同时不能被质数 Pc 整除，那么，N－Gn 和 Gn 任一个数能被质数Pc整除的整数Gn的个数为 INT{(N/2)/Pc}，N－Gn 和 Gn 同时不能被质数Pc整除的整数Gn的个数为 { INT(N/2) － INT(N/2/Pc) } ＝ INT{ N/2－N/2/Pc }，N－Gn 和 Gn同时不能被质数Pc整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R (N,Pc) ＝ { INT(N/2) － INT(N/2/Pc) } / (N/2) ＝ INT{ N/2 － N/2/Pc } / (N/2) (2)
定理二：
设Pn为奇质数且不是偶数N的因数，且不大于√N，那么，N－Gn 和 Gn同时不能被质数Pn整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R(N,Pn) ＝ INT{ N/2 － N/Pn } / (N/2) ＝ { INT(N/2) － INT(N/Pn) } / (N/2)
证明：
由于Pn不是偶数N的因数，因此，N－Gn 和 Gn 不能同时被质数Pn 整除，即：N－Gn 和 Gn 只能有一个可以被质数 Pn 整除，或者N－Gn 和 Gn 二个都不能被质数 Pn 整除，那么，N－Gn 和 Gn 任一个可以被质数Pn整除的整数Gn的个数为 INT{N/Pn}，N－Gn 和 Gn 同时不能被质数Pn整除的整数Gn的个数为 { INT(N/2) － INT(N/Pn) } ＝ INT{ N/2 － N/Pn }，N－Gn 和 Gn同时不能被质数Pn整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R(N,Pn) ＝ { INT(N/2) － INT(N/Pn) } / (N/2) ＝ INT{ N/2 － N/Pn } / (N/2) (3)
定理三：
整数2是质数且是偶数N的因数，那么，N－Gn 和 Gn同时不能被质数2整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R(N,2) ＝ INT{ N/2－N/2/2 } / (N/2) ＝ { INT(N/2) － INT(N/2/2) } / (N/2)
证明：
由于2是偶数N的因数，因此，N－Gn 和 Gn 同时能被质数 2 整除，或者同时不能被质数 2 整除，那么，N－Gn 和 Gn 任一个能被质数2整除的整数Gn的个数为 INT{(N/2)/2}，N－Gn 和 Gn 同时不能被质数2整除的整数Gn的个数为 { INT(N/2) － INT(N/2/2) } ＝ INT{ N/2－N/2/2 }，N－Gn 和 Gn同时不能被质数2整除的整数Gn的个数与不大于N/2的整数Gn 的总个数之比为如下：
R(N,2) ＝ { INT(N/2) － INT(N/2/2) } / (N/2) ＝ INT{ N/2 － N/2/2 } / (N/2) (4)

三、偶数的哥德巴赫质数的个数
设 Gp(N)为偶数N的哥德巴赫质数的个数，设 Gp(N,Pn) 为不大于√N的哥德巴赫质数的个数，那么，有如下公式成立：
Gp(N) ＝ INT{(N/2)×R(N,2)×∏R (N,Pci)×∏R (N,Pni)} ＋ Gp(N,Pni) － 1(如果N－1是质数)
＝ INT{(N/2)×(1－1/2)×∏(1－1/Pci)×∏(1－2/Pni)}＋Gp(N,Pni)－1(如果N－1是质数) (5)
式中Pci 和Pni都是不大于√N的奇质数。
设 Pi(N)为不大于整数N的质数的个数，那么，有如下公式成立：
Pi(N) ≡ INT{ N×(1－1/P1)×(1－1/P2)×…×(1－1/Pm)＋m－1 } ≡ P(N)＋Pi(√N) － 1
Pi(N) ≈ Psha（N）≡ Li（N）－ 1/2 × Li（N^0.5）×（1 ＋ 1/ Ln（N））
Pi(N｜N≥10^4) ≥ Li（N）－ Li（N^0.5）×（1 ＋ 1/ Ln（N））
P(N｜N≥10^9) ≥ 2 /（1＋√（1－4 / Ln（N）））× N / Ln（N）≥ N /（Ln（N）－1）
P(N｜N≥10^4) ≡ INT{ N×(1－1/2)×∏（1－1/Pi）} ≥ N / Ln（N） (6)

基本的筛法一：
1 ，2，3，4，5，6；
取质数2，可以被 2 整除的数为：2，4，6；不能被 2 整除的数为：1，3，5；
取质数3，可以被 3 整除的数为：3，6；不能被 3 整除的数为：1，2，4，5；
可以被 2 整除的数的个数为：6 / 2 ＝ 3，不能被 2 整除的数的个数为：6 － 3 ＝ 3；
可以被 3 整除的数的个数为：6 / 3 ＝ 2，不能被 3 整除的数的个数为：6 － 2 ＝ 4；
可以被 2 整除的数的个数为：6 ×（1/2）＝ 3，不能被 2 整除的数的个数为：6 ×（1－1/2）＝ 3；
可以被 3 整除的数的个数为：6 ×（1/3）＝ 2，不能被 3 整除的数的个数为：6 ×（1－1/3）＝ 4；
同时不能被 2 和 3 整除的数的个数为：
6 ×（1－1/2）×（1－1/3）＝ 6 ×1/2 ×2/3 ＝ 6 ×1/3 ＝ 2；（1，5）
为了排除 1，所以，在公式中，－1 这一项不能去掉；
由于相除是整数，没有误差，所以，公式可以直接计算。
基本的筛法二：
1 ，2，3，4，5，6，7，8；
取质数2，可以被 2 整除的数为：2，4，6，8；不能被 2 整除的数为：1，3，5，7；
可以被 2 整除的数的个数为：8 / 2 ＝ 4，不能被 2 整除的数的个数为：8 － 4 ＝ 4；
可以被 2 整除的数的个数为：8 ×（1/2）＝ 4，不能被 2 整除的数的个数为：8 ×（1－1/2）＝ 4；
由于相除是整数，没有误差，所以，公式可以直接计算。
取质数3，可以被 3 整除的数为：3，6；不能被 3 整除的数为：1，2，4，5，7，8；
可以被 3 整除的数的个数为：8 / 3 ＝ 2.667，不能被 3 整除的数的个数为：8 － 2.667 ＝ 5.333；
这里存在一个取整的问题：
可以被 3 整除的数的个数为：INT（8 /3）＝ 2，不能被 3 整除的数的个数为：
8 － INT（8 /3）＝ 8 － 2 ＝ 6。
我已经用初等的方法证明了哥德巴赫猜想，为了鼓励广大师生动脑筋，想办法，证明过程暂不公开。凡能证明者，具有同等的优先权。允许参考我的任何资料。

2020年10月1日为中华人民共和国71周年国庆，仅以此文献给我的伟大的祖国。
素数分布规律一直是人类探索素数奥秘的伟大目标。德国数学家欧拉曾预言：再过一百万年，人类也无法看出素数分布的奥秘。可见素数分布规律是何等神秘。
素数分布与黎曼猜想解析数论的研究是我国卓有成效的一个研究领域，王元院士著文介绍了这方面的情况。读后深感优秀人才在推动科学事业（其实各行各业也都如此）上的重大作用，解析数论在我国的成就是和华罗庚教授本人的高深的数学造诣和辛勤的工作分不开的。
一位大科学家的出现不仅将极大地促进科学水平的提高或开创一个新的科学领域，而且还将树新一代的学风，育新一代的人才，创新一代的学派，意义和作用是重大的。因此，如何克服怕人才冒尖的平均主义思想，努力发掘和培养我国年青一代的出类拔萃的科学人才以适应四化建设所需，确是当务之急。
人们自然要问：黎曼是谁？什么是 “黎曼猜想”？它的意义何在？
“黎曼猜想”至今悬而未决，既未被证明也未被推翻当代数学中大约有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式)为前提的。这就是说，黎曼猜想一旦被证明，那1000多条数学命题都可以 “荣升”为数学定理；反之，如果黎曼猜想被推翻，这1000多条数学命题大部分就成了 “陪葬”。1826年，黎曼出生于德国汉诺威的小镇布列斯伦茨，他的父亲是一位牧师。1846年，黎曼进入哥廷根大学，受父亲的影响，他主修哲学和神学。幸运的是，他迷上了高斯的数学讲座，在得到父亲的允许后，改学数学。在大学期间，他有两年时间去柏林大学就读，深受雅可比和狄利克雷的影响。1851年，黎曼在柏林大学获博士学位。按照德国惯例，博士学位只表示一个人的学术水平，并不能据此在大学任教。为了获得大学教职，黎曼向哥廷根大学递交两篇论文：《论傅里叶级数》和 《关于作为几何学基础的假设》，前一篇作为讲师资格审查材料，后一篇作为就职演说。1854年6月10日，在哥廷根大学的教员大会上，黎曼做了就职演说，年迈的高斯就坐在台下，露出赞赏的笑容。黎曼的演说发展了高斯关于曲面的内蕴微分几何，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1854年，黎曼成为哥廷根大学的无薪讲师，1857年升为哥廷根大学的编外教授。1859年，他接替狄利克雷成为教授，并被选为柏林科学院院士。为表感激，黎曼向科学院提交了一篇名为《论小于给定数值的素数个数》的论文，该文发表在 《柏林科学院月刊》(1859年11月号)。论文的手稿仅仅6页，但彻底轰动了整个数学界。在这篇论文中黎曼定义了 “Zeta函数”ζ(s)，提出了有关素数分布的6个猜想。1892年法国数学家阿达玛证明第 1、3、4猜想，1894年德国数学家曼高尔特证明了第2、6猜想。唯第5个猜想迄今未获证明，这则猜想被称为 “黎曼猜想”。黎曼猜想的内容无法用完全初等的数学来描述。简单地说，它是一个被称为黎曼 ζ-函数的复变量函数(即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数) 的猜想。黎曼ζ-函数跟许多其它函数一样，在某些点上的取值为零，那些点被称为黎曼 ζ-函数的零点。在那些零点中，有一部分特别重要的被称为黎曼ζ-函数的非平凡零点。黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点的实数部分都等于1/2。即这些零点全都分布在复平面上横坐标等于1/2的特殊直线上。黎曼猜想的研究已成为数学史上波澜壮阔的篇章，但直到今天仍然悬而未决，既没有被证明，也没有被推翻。不过，数学家们已经从分析和数值计算这两个不同方面入手，对它进行了深入研究。在分析方面所取得的最强结果是证明了至少有40%的非平凡零点位于临界线上；而数值计算方面所取得的最强结果则是验证了前十万亿个非平凡零点全都位于临界线上。但10万亿次验证，并不能等同一纸证明。因此数学家不断挑战黎曼猜想的极限。不仅如此，对黎曼猜想的研究也促进了相关学科的蓬勃发展。人们发现，黎曼猜想甚至和一些复杂的物理现象也有千丝万缕的联系，这更增添了黎曼猜想的重要性与神秘性。据称，当代数学中大约有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式)为前提的。这就是说，黎曼猜想一旦被证明，所有那1000多条数学命题都可以 “荣升”为数学定理；反之，如果黎曼猜想被推翻，这1000多条数学命题大部分就成了“陪葬”。一条数学猜想成为如此众多数学命题正确性的 “基石”，这在数学史上几乎是绝无仅有的，由此凸显黎曼猜想的重要意义。由数学家 “智力构造”的问题，几乎主导着数学发展的方向数学猜想是人类理性中最富有创造性的部分。数学发展史表明，数学家在尝试解决数学猜想过程中 (无论最终是否解决)创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。数学家哈尔莫斯说过， “问题是数学的心脏”。甚至可以说，一部数学的历史，就是人类探索和解决 “问题”的历史，这个 “问题”可以是来自生产实践，来自对大自然的思考，更多则是来自数学家们的 “智力构造”，尤其是进入近现代以来，数学家们 “智力构造”的数学问题，几乎主导着数学发展的方向。数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分。数学猜想能够强烈地吸引数学家全身心投入，积极开展相关研究，从而强力推动数学发展。数学猜想一旦被证实，就将转化为定理，汇入数学理论体系之中，从而丰富了数学理论。数学猜想也是创造数学思想方法的重要途径。数学发展史表明，数学家在尝试解决数学猜想过程中 (无论最终是否解决)创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特发表了著名的 《数学问题》演说。作为当时的国际领头数学家，希尔伯特以其深邃数学眼光，根据19世纪数学研究的成果与发展趋势提出了23个数学问题，对这些数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解。希尔伯特讲演强调重大数学问题乃是数学前进的指路明灯。他坚信数学不会因正在盛行的专门化趋势而被分割成不联系的孤立分支，数学作为一个整体的生命力正在于其各个部分间联系。这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。这些问题有些已经获得证明，有些尚待证明。其中第八个问题是素数分布，包含了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数。2000年，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并为每个问题设置了100万美元的奖金，黎曼猜想赫然列在其中。希尔伯特在他 《数学问题》的演说中指出： “历史教导我们，科学的发展具有连续性……某类问题对于一般数学进展的深远意义以及他们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的，只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”希尔伯特在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念，对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说： “在我们中间，常常听到这样的呼声——这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有ignorabimus(不可知)。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，希尔伯特再次满怀信心地 宣 称 ： Wir müssen wissen.Wir werden wissen。(我们必须知道，我们必将知道。)”(作者为上海交通大学科学史系教授)

四、哥德巴赫猜想的证明
R（N,Pn）＝1 － INT（N/Pn）/（N/2）≥ 1 －（N/Pn＋1）/（N/2）：（去掉取整符号需＋1）
＝1 － 2/Pn －2/N＝（1 － 2/Pn）×（1 － 2/N /（1－2/Pn））：（最小奇质数为3）
≥（1－ 2/Pn）×（1 － 2/N /（1 －2/3））＝（1－ 2/Pn）×（1 － 2/N /（1/3））
R（N,Pn）≥（1－ 2/Pn）×（1 － 6/N） (6)
Gp(N)≥(N/2)×（1－INT(N/4)/(N/2)）×∏(1－1/Pc)×∏(1－INT(N/Pn)/(N/2))－1
≥(N/2)×（1－1/2）×∏(1－2/Pc)×∏（1－2/Pn）×∏（1－6/N）－1
≥(N/4)×∏(1－2/P)×（1－6/N）^N^0.5 －1：（P为奇质数，∏最多连乘次数为N^0.5）
≥(N/4)×1/N^0.5 ×（1－6×N^0.5/N）－1 ：（ 简化公式且使公式成立 ）
≥(N^0.5)/4 －6/N^0.5×(N^0.5)/4 －1≥(N^0.5/4)－6/4 －1≥1
Gp(N)≥(N^0.5/4)－6/4 －1≥1 (7)
(N^0.5)－6－ 4 ≥ 4，(N^0.5)≥ 14，N≥ 196。
由上面公式我们可以获得：每一个大于196的偶数都可表为两个奇质数之和。
最后结论：哥德巴赫猜想是一个完全正确的定理。 证毕

关于质数定理取整公式的取整运算法则
The integral operation of the integral formula of the prime number theorem
设 Pi（N）表示不大于N的质数的总个数，那么，有如下公式成立：
Let Pi (N) represent the total number of primes not greater than N, then the following formula holds:
Pi（N） ≡ INT { N×（1－1/P1）×（1－1/P2）×…×（1－1/Pm）＋ m － 1 }
Pi（N）≈ Li（N）×（1 －（1＋1 /（Ln（N）－5））/√N ）
(质数定理的中心线公式) The centerline formula of the prime number theorem
Pi（N）≈ Li（N）－ 0.5×Li（N^0.5）
(质数定理的中心线公式) The centerline formula of the prime number theorem
式中INT { } 表示对 { } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算，P1、P2、…、Pm 为所有不大于√N 的 m 个质数，Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式，Ln（N）为自然对数。
In the formula, INT {} means to add or subtract each item of the formula expansion within {} after rounding, P1, P2,... Pm is all m prime Numbers not greater than square root of N, Li (N) is the integral formula of the reciprocal of natural logarithm of Gauss, and Ln (N) is the natural logarithm.