8434 三次曲线 极锥线

是如下问题的三次曲线版本

以下是另一种版本。
假设D,E,F处三次曲线切线围成△ABC，那么总有U,V关于三次曲线的极线即为关于ABC的三线性极线。题目即问U,V关于ABC的三线性极线经过P。

另一种视角：
该题表明当三次曲线保持“经过D,E,F和以BC,CA,AB为切线”时（还有三个自由度），那个绿色锥线恒经过定点U，V。
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特别地，取DEF为无穷远线，取P为ABC的陪位重心，取三次曲线为退化的AB∪BC∪CA，那么绿色的锥线就变成莱莫恩圆，U,V为圆环点。

mol豪神

*下面的证明需要用到极锥线的存在性
P在U,V的极线上等价于U,V在P的极锥线上，由PD,PE,PF三条截线可以唯一确定P关于Γ的极锥线，所以只要证明：任意一点P关于 圆锥曲线Ω∪直线l 这一退化三次曲线的极锥线经过 Ω与l的两个交点
引理：AB平行CD平行EF，AB,CD,EF的中点共线，则ABCDEF共锥线
证明：Pascal定理
为简化问题，作射影对应，使P为无穷远点，所有点记号不变，设Ω与l交于点U,V，Ω在点Q,R处的切线过P，且分别交l于S,T，UP,VP与Ω再次交于A,B两点，设X,Y,Z,W分别为QS靠近S, RT靠近T，UA靠近A，VB靠近B的三等分点，K,L,M,N分别为QX,RY,UZ,VW的中点，C,D分别为QR与ZU,BV的交点
则C,D分别为AU,BV中点，故K,L,M,N分别为QS,RT,CU,DV靠近Q,R,C,D的三等分点，所以K,L,M,N共线，由引理，QRUVXYZW八点共圆锥曲线
根据三次曲线极锥线的定义，Q,R,X,Y,Z,W都在P关于三次曲线Ω∪l的极锥线上，所以U,V也在P的极锥线上，命题得证.